独立したイベント：デモ、例、演習 - ドゥーダス - 2025

2つのイベントは独立しています。一方のイベントがランダムに発生することを考えると、一方のイベントが発生する確率が他方のイベントが発生する（または発生しない）ことによる影響を受けない場合です。

この状況は、イベント1の結果を生成するプロセスが、イベント2の可能な結果の確率を変更しない場合に必ず発生します。ただし、これが発生しない場合、イベントは依存していると言われます。

図1.色付きのビー玉は、独立したイベントの確率を説明するために頻繁に使用されます。出典：Pixabay。

独立したイベントの状況は次のとおりです。2つの6面ダイスが1つが青でもう1つがピンクであると仮定します。1が青いサイコロを振る確率は、1がピンクのサイコロを振る（または振らない）確率とは無関係です。

2つの独立したイベントのもう1つのケースは、コインを2回続けて投げる場合です。最初のスローの結果は2番目のスローの結果に依存せず、その逆も同様です。

2つの独立したイベントの証明

2つのイベントが独立していることを確認するために、あるイベントの別のイベントに対する条件付き確率の概念を定義します。このため、排他的イベントと包括的イベントを区別する必要があります。

イベントAの可能な値または要素がイベントBの値または要素と共通点がない場合、2つのイベントは排他的です。

したがって、2つの排他的なイベントでは、AとBの共通部分のセットがバキュームになります。

イベントを除く：A∩B=Ø

逆に、イベントが包括的である場合、イベントAの結果が別のBの結果と一致することもあり、AとBは異なるイベントです。この場合：

包括的なイベント：A∩B≠Ø

これにより、イベントBが発生するたびに、2つの包括的なイベントの条件付き確率、つまりイベントAの発生確率が定義されます。

P（A¦B）= P（A∩B）/ P（B）

したがって、条件付き確率は、AとBが発生する確率をBが発生する確率で割ったものです。Aを条件としてBが発生する確率も定義できます。

P（B¦A）= P（A∩B）/ P（A）

2つのイベントが独立しているかどうかを判断する基準

次に、2つのイベントが独立しているかどうかを知るための3つの基準を示します。イベントの独立性が示されるように、3つのうちの1つが満たされれば十分です。

1.- Bが発生するたびにAが発生する確率がAの確率と等しい場合、それらは独立したイベントです。

P（A¦B）= P（A）=> AはBに依存しない

2.- Aが与えられたときにBが発生する確率がBの確率と等しい場合、独立したイベントがあります。

P（B¦A）= P（B）=> BはAに依存しない

3.- AとBが発生する確率が、Aが発生する確率とBが発生する確率の積に等しい場合、それらは独立したイベントです。逆もまた真実です。

P（A∩B）= P（A）P（B）<=> AとBは独立したイベントです。

独立したイベントの例

2つの異なるサプライヤーによって製造されたラバーソールが比較されます。各メーカーのサンプルは、いくつかのテストを受け、そこから仕様内であるかどうかが判断されます。

図2.さまざまなラバーソール。出典：Pixabay。

結果の252サンプルの要約は次のとおりです。

メーカー1; 160は仕様を満たしています。8仕様を満たしていません。

メーカー2; 80は仕様を満たしています。4仕様を満たしていません。

イベントA：「サンプルが製造元1からのものであること」。

イベントB：「サンプルが仕様を満たしていること」

これらのイベントAとBが独立しているかどうかを知りたいので、前のセクションで説明した3つの基準の1つを適用します。

基準：P（B¦A）= P（B）=> BはAから独立している

P（B）= 240/252 = 0.9523

P（B¦A）= P（A⋂B）/ P（A）=（160/252）/（168/252）= 0.9523

結論：イベントAとBは独立しています。

イベントC：「サンプルが製造元2からのものである」と仮定します。

イベントBはイベントCから独立していますか？

基準の1つを適用します。

基準：P（B¦C）= P（B）=> BはCに依存しない

P（B¦C）=（80/252）/（84/252）= 0.9523 = P（B）

したがって、入手可能なデータに基づいて、ランダムに選択されたラバーソールが仕様を満たす確率は、メーカーとは無関係です。

独立イベントを依存イベントに変換する

依存イベントと独立イベントを区別するために、次の例を見てみましょう。

2つのホワイトチョコレートボールと2つのブラックボールが入ったバッグがあります。白いボールまたは黒いボールを取得する確率は、最初の試行で同じです。

結果がキューボールだったとしましょう。引かれたボールがバッグに入れ替えられると、元の状況が繰り返されます：2つの白いボールと2つの黒いボール。

したがって、2番目のイベントまたはドローで、キューボールまたは黒のボールをドローするチャンスは、初回と同じです。したがって、これらは独立したイベントです。

しかし、最初のイベントで描いたキューボールを食べたために置き換えられない場合、2番目のドローでは黒いボールを描く可能性が高くなります。2番目の抽出が再び白を取得する確率は、最初のイベントの確率とは異なり、前の結果によって条件付けられます。

演習

-演習1

ボックスに、図1の10個のビー玉を入れます。そのうち2個は緑、4個は青、4個は白です。2つのビー玉がランダムに選択されます。
以下の条件下で、それらのどれも青ではない確率を見つけるように求められます。

a）交換の場合、つまり、2番目の選択の前の最初の大理石をボックスに戻します。それらが独立イベントか依存イベントかを示します。

b）交換せずに、2番目の選択を行うときに描画された最初の大理石がボックスから除外されるようにします。同様に、それらが依存イベントか独立イベントかを示します。

への解決策

抽出された最初の大理石が青ではない確率、つまり1から青である確率を差し引いてP（A）、または緑または白になったために青ではない確率を直接計算します。

P（A）= 4/10 = 2/5

P（青にならないでください）= 1-（2/5）= 3/5

まあ：

P（緑または白）= 6/10 = 3/5。

取り出された大理石が返却されると、すべてが以前と同じです。この2番目の描画では、描画された大理石が青ではない確率が3/5です。

P（青ではなく、青ではない）=（3/5）。（3/5）= 9/25。

抽出された大理石は箱に戻され、最初のイベントは2番目のイベントの発生確率に影響しないため、イベントは独立しています。

ソリューションb

最初の抽出については、前のセクションと同様に進めます。青くない確率は3/5です。

2番目の抽出では、最初のバッグが戻らなかったため、バッグに9つのビー玉がありますが、それは青ではなかったため、バッグには9つのビー玉と5つのビー玉があります。

P（緑または白）= 5/9。

P（どれも青ではない）= P（最初は青ではない）。P（2番目は青ではない/最初は青ではない）=（3/5）。（5/9）= 1/3

この場合、最初のイベントが2番目のイベントを調整するため、これらは独立したイベントではありません。

-演習2

店舗には、3つのサイズ（小3、中6、大6）の15枚のシャツがあります。2枚のシャツがランダムに選択されます。

a）シャツを最初に取り、ロット内で別のシャツを交換しない場合、選択された両方のシャツが小さい確率はどれくらいですか？

b）選択された両方のシャツが小さい場合、一方が最初に描かれ、バッチで交換され、2番目が削除される確率はどれくらいですか？

への解決策

2つのイベントは次のとおりです。

イベントA：最初に選択されたシャツは小さい

イベントB：2番目に選択されたシャツは小さい

イベントAが発生する確率は次のとおりです：P（A）= 3/15

イベントBが発生する確率は次のとおりです。P（B）= 2/14、シャツはすでに取り外されているため（残り14個あります）、イベントAも満たされることを望んでいるため、最初に取り除かれるシャツは小さくなければなりません。どちらも小さいです。

つまり、AとBが確率の積になる確率は次のとおりです。

P（AおよびB）= P（B¦A）P（A）=（2/14）（3/15）= 0.029

したがって、イベントAおよびBが発生する確率は、イベントAが発生する確率に、イベントAの場合にイベントBが発生する確率を掛けたものになります。

注意すべきこと：

P（B¦A）= 2/14

イベントAが発生したかどうかに関係なく、イベントBが発生する確率は次のとおりです。

最初の値が小さい場合はP（B）=（2/14）、最初の値が小さくない場合はP（B）= 3/14。

一般的に、次のことが結論付けられます。

P（B¦A）はP（B）と等しくない=> BはAから独立していない

ソリューションb

ここでも2つのイベントがあります。

イベントA：最初に選択されたシャツは小さい

イベントB：2番目に選択されたシャツは小さい

P（A）= 3/15

結果が何であれ、バッチから描画されたシャツが置き換えられ、再びランダムにシャツが描画されることに注意してください。イベントAが発生した場合、イベントBが発生する確率は次のとおりです。

P（B¦A）= 3/15

イベントAおよびBが発生する確率は次のとおりです。

P（AおよびB）= P（B¦A）P（A）=（3/15）（3/15）= 0.04

ご了承ください：

P（B¦A）はP（B）に等しい=> BはAから独立しています。

-演習3

2つの独立したイベントAとBを考えます。イベントAが発生する確率は0.2、イベントBが発生する確率は0.3であることがわかっています。両方のイベントが発生する確率はどれくらいですか？

解決策2

イベントが独立していることがわかっているので、両方のイベントが発生する確率は個々の確率の積であることがわかっています。つまり、

P（A∩B）= P（A）P（B）= 0.2 * 0.3 = 0.06

これは、各イベントが他の結果に関係なく発生する確率よりもはるかに低い確率であることに注意してください。または、別の言い方をすれば、個々のオッズよりもはるかに低くなります。

参考文献

1. Berenson、M。1985。経営と経済学の統計。Interamericana SA 126-127。
2. モンテレイ研究所。独立したイベントの確率。回収元​​：monterreyinstitute.org
3. 数学の先生。独立したイベント。回収元​​：youtube.com
4. スーパープロフ。イベントのタイプ、依存イベント。回収元​​：superprof.es
5. バーチャルチューター。確率。リカバリー元：vitutor.net
6. ウィキペディア。独立性（確率）。回復元：wikipedia.com