有理数は、すべての数字は二つの整数の割り算として得ることができます。有理数の例は、3 / 4、8 / 5、-16 / 3、および次の図に表示されるものです。有理数では商が示され、必要に応じて後で行うことができます。
この図は、快適さを高めるために丸いオブジェクトを表しています。右のように2つの等しい部分に分割したい場合は、左半分が2つあり、それぞれ半分の価値があります。
図1.有理数は、全体をいくつかの部分に分割するために使用されます。出典：Freesvg。
それを4つの等しい部分に分割することにより、4つの部分が得られ、それぞれが中央の画像のように1/4の価値があります。そして、それを6つの等しい部分に分割する必要がある場合、各部分は左の画像にある1/6の価値になります。
もちろん、それを2つの等しくない部分に分割することもできます。たとえば、3/4の部分を保持し、1/4の部分を節約できます。4/6パーツや2/6パーツなど、他の分割も可能です。重要なことは、すべての部分の合計が1であることです。
このように、有理数を使用すると、食料、お金、土地、あらゆる種類のオブジェクトなどを分割して数え、分配できることは明らかです。これにより、数値で実行できる操作の数が拡張されます。
次の例に示すように、有理数は10進数形式で表すこともできます。
1/2 = 0.5
1/3 = 0.3333…..
3/4 = 0.75
1/7 = 0.142857142857142857………
後で、あるフォームから別のフォームに移動する方法を例とともに示します。
有理数の性質
セットが文字Qで示される有理数には、次の特性があります。
-Qには、自然数Nと整数Zが含まれます。
任意の数aがそれ自体と1の間の商として表現できることを考慮に入れると、有理数の中に自然数と整数も存在することが簡単にわかります。
したがって、自然数3は分数として、また-5として書くことができます。
3 = 3/1
-5 = -5/1 = 5 / -1 =-（5/1）
このように、Qはより多くの数を含む数値セットです。「丸い」数は、実行可能なすべての操作を説明するには十分ではないため、非常に必要です。
-有理数を加算、減算、乗算、および除算でき、演算の結果は有理数になります：1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2-1/5 = 3/10; （1/2）x（1/5）= 1/10; （1/2）÷（1/5）= 5/2。
-有理数の各ペアの間で、別の有理数が常に見つかります。実際、2つの有理数の間には無限の有理数があります。
たとえば、有理数1/4と1/2の間には、有理数3 / 10、7 / 20、2 / 5（およびそれ以上）があります。これは、小数として表すことで確認できます。
-任意の有理数は次のように表すことができます：i）整数、またはii）制限付き（厳密）、または周期的な小数：4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666……
-同じ数は無限の同等の分数で表すことができ、それらすべてはQに属します。このグループを見てみましょう：
それらはすべて10進数の0.428571を表します…
-同じ数を表すすべての同等の分数のうち、最も簡単な既約分数は、その数の正規表現です。上記の例の正規表現は3/7です。
図2.-有理数の集合Q。出典：ウィキメディア・コモンズ。Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA（https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0）。
有理数の例
-適切な分数、分子が分母より小さいもの：
-分子が分母より大きい、不適切な分数：
-自然数と自然数：
-同等の分数：
有理数の10進表現
分子を分母で割ると、有理数の小数形式が見つかります。例えば：
2/5 = 0.4
3/8 = 0.375
1/9 = 0.11111…
6/11 = 0.545454…
最初の2つの例では、小数点以下の桁数が制限されています。つまり、除算が行われると、最後に余り0が取得されます。
一方、次の2つでは、小数点以下の桁数が無限であるため、省略記号が配置されます。後者の場合、小数部にパターンがあります。フラクション1/9の場合、1は無期限に繰り返されますが、6/11では54です。
これが発生すると、小数は周期的であると呼ばれ、次のようなキャレットで示されます。
小数を分数に変換する
それが限定された小数の場合、カンマは単純に削除され、分母は、小数の数値と同じ数のゼロが後に続く単位になります。たとえば、小数1.26を分数に変換するには、次のように記述します。
1.26 = 126/100
次に、結果の分数が最大化されます。
126/100 = 63/50
小数が無制限の場合、ピリオドが最初に識別されます。次に、これらの手順に従って結果の分数を見つけます。
-分子は、数値（カンマまたはキャレットなし）とキャレットのない部分の減算です。
-分母は、サーカムフレックスの下にある数字と同じ数の9と、サーカムフレックスの下にない小数部の数字と同じ数の0の整数です。
この手順に従って、10進数0.428428428…を分数に変換します。
-最初に、期間が識別されます。これは繰り返されるシーケンスです：428。
-次に、カンマやアクセントなしで数を引く操作が行われます：サーカムフレックスがない部分からの0428、つまり0です。したがって、428-0 = 428です。
-分母が作成され、サーカムフレックスの下には3つの数字があり、すべてサーカムフレックスの下にあることがわかります。したがって、分母は999です。
-最後に分数が形成され、可能であれば簡略化されます。
0.428 = 428/999
これ以上単純化することはできません。
有理数による演算
-足し算と引き算
同じ分母の分数
分数が同じ分母を持っている場合、分子は単に代数的に加算され、結果の分母としての加数と同じになるため、それらを加算および/または減算することは非常に簡単です。最後に、可能であれば簡略化します。
例
次の代数的加算を実行し、結果を簡略化します。
結果の分数はすでに既約です。
分母が異なる分数
この場合、加数は同じ分母を持つ同等の分数に置き換えられ、すでに説明されている手順に従います。
例
次の有理数を代数的に追加して、結果を簡略化します。
手順は次のとおりです。
-分母5、8、3の最小公倍数（lcm）を決定します。
lcm（5,8,3）= 120
これは、単純化せずに結果の分数の分母になります。
-各分数：LCMを分母で割り、分子を掛けます。この演算の結果は、それぞれの符号とともに、分数の分子に入れられます。このようにして、オリジナルと同等の分数が得られますが、LCMが分母になります。
たとえば、最初の分数の場合、分子は次のように構成されます：（120/5）x 4 = 96そして、次のようになります。
残りの分数についても同じ方法で続行します。
最後に、同等の分数が符号を忘れずに置き換えられ、分子の代数和が実行されます。
（4/5）+（14/8）-（11/3）+ 2 =（96/120）+（210/120）-（440/120）+（240/120）=
=（96 + 210-440 + 24）/ 120 = -110 / 120 = -11/12
-乗算と除算
乗算と除算は、以下に示すルールに従って行われます。
図3.有理数の乗算と除算のルール。出典：F. Zapata。
いずれの場合でも、乗算は可換であることを覚えておくことが重要です。つまり、因数の順序は積を変更しません。これは除算では発生しないため、被除数と除数の間の順序を尊重するように注意する必要があります。
例1
次の操作を実行し、結果を簡素化します。
a）（5/3）x（8/15）
b）（-4/5）÷（2/9）
に答えます
（5/3）x（8/15）=（5 x 8）/（3 x 15）= 15/120 = 1/8
回答b
（-4/5）÷（2/9）=（-4 x 9）/（5 x 2）= -36 / 10 = -18/5
例2
ルイサは45ドルでした。彼は本の10分の1を購入し、Tシャツに残ったものの2/5を購入しました。ルイサはどのくらいのお金を残しましたか？結果を既約分として表現します。
解決
帳簿価格（1/10）x 45ドル= 0.1 x 45ドル= 4.5ドル
したがって、ルイサは次のように残されました：
45-4.5 $ = 40.5 $
そのお金でルイサは衣料品店に行き、シャツを買いました。その価格は次のとおりです。
（2/5）x 40.5ドル= 16.2ドル
今、ルイサは彼女のポートフォリオを持っています：
40.5-16.2 $ = 24.3 $
分数として表現するには、次のように記述します。
24.3 = 243/10
それは還元不可能です。
参考文献
- Baldor、A。1986。算術。エディションとディストリビューションコーデックス。
- ケアナ、M。2019。数学のマニュアル。リトラル国立大学。
- Figuera、J。2000。数学8. Ediciones Co-Bo。
- ヒメネス、R。2008。代数。プレンティスホール。
- 有理数。回復：Cimanet.uoc.edu。
- 有理数。回復：webdelprofesor.ula.ve。