定理Varignonは、任意の四角形を連続辺の中点に接続されている場合、平行四辺形が生成されることを述べています。この定理は、ピエールバリニョンによって策定され、1731年に「Elements of mathematics」で出版されました。
この本の出版は彼の死後何年も続いた。この定理を導入したのはヴァリニョンなので、平行四辺形は彼にちなんで名付けられました。定理はユークリッド幾何学に基づいており、四辺形の幾何学的関係を表します。
バリニョンの定理とは何ですか？
バリニョンは、四辺形の中点によって定義される図は常に平行四辺形をもたらし、平行四辺形の面積はそれが平らで凸状であれば常に四辺形の面積の半分になると述べました。例えば：
この図では、面積Xの四辺形を見ることができます。辺の中点はE、F、G、Hで表され、結合すると平行四辺形を形成します。四辺形の面積は、形成される三角形の面積の合計になり、この半分が平行四辺形の面積に対応します。
平行四辺形の面積は四辺形の面積の半分であるため、その平行四辺形の周長を決定できます。
したがって、外周は四辺形の対角線の長さの合計に等しくなります。これは、四辺形の中央値が平行四辺形の対角線になるためです。
一方、四角形の対角線の長さがまったく同じ場合、平行四辺形はひし形になります。例えば：
この図から、四辺形の辺の中点を結ぶことにより、ひし形が得られていることがわかる。一方、四辺形の対角線が垂直の場合、平行四辺形は長方形になります。
また、四辺形が同じ長さの対角線を持ち、それらも垂直である場合、平行四辺形は正方形になります。
この定理は、平面四辺形で満たされるだけでなく、空間ジオメトリまたは大規模な次元でも実装されます。つまり、凸状でない四辺形です。この例として、八面体が挙げられます。中間点は各面の重心であり、平行六面体を形成します。
このように、異なる図形の中点を結合することにより、平行四辺形を得ることができます。これが本当に正しいかどうかを確認する簡単な方法は、伸ばしたときに反対側が平行でなければならないことです。
例
最初の例
平行四辺形であることを示すための反対側の拡張：
2番目の例
菱形の中点を結合することにより、長方形が得られます：
この定理は、四辺形の辺の中央にある点の和集合で使用されます。また、3分割、5分割、または無数の断面など、他のタイプの点にも使用できます（ nth）、任意の四辺形の辺を比例するセグメントに分割するため。
解決された演習
演習1
この図では、領域Zの四辺形ABCDがあり、この辺の中点がPQSRです。Varignon平行四辺形が形成されていることを確認します。
解決
PQSRポイントを結合するとVarignon平行四辺形が形成されることがわかります。これは、四角形の中点がステートメントで指定されているためです。
これを実証するために、最初に中点PQSRが結合されるため、別の四辺形が形成されていることがわかります。平行四辺形であることを証明するには、点Cから点Aまで直線を引くだけでよいので、CAはPQおよびRSに平行であることがわかります。
同様に、PQRSの辺を拡張すると、次の図に示すように、PQとRSが平行であることがわかります。
演習2
すべての辺の長さが等しい長方形があります。これらの辺の中点を結合することにより、菱形ABCDが形成されます。これは、2つの対角線AC = 7cmおよびBD = 10cmで分割され、長方形の辺の測定値と一致します。菱形と長方形の領域を決定します。
解決
結果として生じる平行四辺形の面積は四辺形の半分であることを思い出して、対角線の測定値が長方形の辺と一致することを知っていれば、これらの面積を決定できます。だからあなたは：
AB = D
CD = d
矩形 =（AB * CD）=（10センチメートル* 7センチメートル）= 70センチメートル2
A 菱形 = A 矩形 / 2
菱形 = 70センチメートル2 /2 = 35センチメートル2
演習3
図では、EFGH点の和集合を持つ四辺形があり、セグメントの長さが示されています。EFGHの和集合が平行四辺形かどうかを判別します。
AB = 2.4 CG = 3.06
EB = 1.75 GD = 2.24
BF = 2.88 DH = 2.02
HR = 3.94 HA = 2.77
解決
セグメントの長さが与えられると、セグメント間に比例関係があるかどうかを検証できます。つまり、四辺形のセグメントを次のように関連付けて、それらが平行かどうかを知ることができます。
-AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37
-AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37
-CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37
-CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37
次に、比例性がチェックされます。
AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD
同様に、点Bから点Dに線を引くと、BDがFGに平行であるのと同じように、EHがBDに平行であることがわかります。一方、EFはGHと並行しています。
したがって、反対側が平行であるため、EFGHは平行四辺形であると判断できます。
参考文献
- アンドレス、T。（2010）。数学オリンピックの宝物。スプリンガー。ニューヨーク。
- バルボサ、JL（2006）。平面ユークリッド幾何学。SBM。リオデジャネイロ。
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- Villiers、M.（1996）。ユークリッド幾何学のいくつかの冒険。南アフリカ。