テッセレーション：特性、タイプ（通常、不規則）、例 - 数学 - 2025

タイリングは、コーティングされた表面一つまたはテッセラと呼ばれる複数の図面です。それらはどこにでもあります：通りやあらゆる種類の建物。タイルまたはタイルは平らな部分であり、通常は合同または等尺性のコピーを持つポリゴンであり、規則的なパターンに従って配置されます。このようにして、カバーされていないスペースがなくなり、タイルまたはモザイクが重なり合うことはありません。

正多角形で構成される単一のタイプのモザイクが使用される場合、規則的なテッセレーションがありますが、2つ以上のタイプの正多角形が使用される場合、それは準規則的なテッセレーションです。

図1.正方形は正方形であるにもかかわらず、長方形は非正則多角形であるため、不規則なテッセレーションのあるタイル床。出典：Pixabay。

最後に、テッセレーションが形成するポリゴンが規則的でない場合、それは不規則なテッセレーションです。

最も一般的なタイプのテッセレーションは、長方形、特に正方形のモザイクによって形成されるものです。図1に良い例があります。

テセレーションの歴史

テッセレーションは、さまざまな文化や宗教の宮殿や寺院の床や壁を覆うために何千年もの間使用されてきました。

たとえば、メソポタミアの紀元前3500年頃、ユーフラテス川とチグリス川の間で繁栄したシュメール文明は、建築にテッセレーションを使用していました。

図2. Istarゲートでのシュメール語のテッセレーション。出典：ウィキメディア・コモンズ。

テッセレーションはまた、すべての年齢の数学者の関心を呼び起こしました。紀元前3世紀のアルキメデスから始まり、1619年のヨハネスケプラー、1880年のカミーユジョーダン、そしてロジャーペンローズの現代まで続きます。

ペンローズは、ペンローズテッセレーションと呼ばれる非周期的なテッセレーションを作成しました。これらは、テッセレーションについて多くの貢献をした科学者のほんの一部の名前です。

通常のテッセレーション

通常のテッセレーションは、1種類の通常のポリゴンのみで作成されます。一方、テッセレーションが規則的であると見なされるには、平面のすべての点が次の条件を満たす必要があります。

-ポリゴンの内部に属している

-または隣接する2つのポリゴンのエッジまで

-最後に、少なくとも3つのポリゴンの共通の頂点に属することができます。

上記の制限により、正三角形、正方形、六角形のみが通常のテッセレーションを形成できることが示されます。

命名法

時計回りのリストで構成され、点、テッセレーションの各ノード（または頂点）を囲むポリゴンの辺の数で区切られ、常に最小の数のポリゴンから始まる、テッセレーションを表す命名法があります。側面。

この命名法は、正規および半正規テッセレーションに適用されます。

例1：三角形のテッセレーション

図3は、通常の三角形のテッセレーションを示しています。三角形のテッセレーションの各ノードは、6つの正三角形の共通の頂点であることに注意してください。

このタイプのテッセレーションを表す方法は3.3.3.3.3.3で、これも3 ^6で表されます。

図3.正三角形のテッセレーション3.3.3.3.3.3。ソース：ウィキメディアコモンズ

例2：四角形のテッセレーション

図4は、正方形のみで構成される通常のテッセレーションを示しています。テッセレーションの各ノードは、4つの一致する正方形で囲まれていることに注意してください。このタイプの正方形テッセレーションに適用される表記は、4.4.4.4または4 ^4です。

図4.四角形のテッセレーション 出典：ウィキメディア・コモンズ。

例3：六角形のテセレーション

六角形のテッセレーションでは、図5に示すように、各ノードは3つの正六角形で囲まれています。正六角形のテセレーションの命名法は6.6.6または6 ³です。

図5.六角形のテセレーション6.6.6。出典：ウィキメディア・コモンズ。

半規則的なテッセレーション

セミレギュラーまたはアルキメデスのテッセレーションは、2種類以上のレギュラーポリゴンで構成されています。各ノードは、テッセレーションを構成するポリゴンのタイプによって常に同じ順序で囲まれ、エッジ条件は隣接ノードと完全に共有されます。

8つの準正規テッセレーションがあります。

1. 3.6.3.6（3角形のテセレーション）
2. 3.3.3.3.6（鈍い六角形のテセレーション）
3. 3.3.3.4.4（細長い三角形のテッセレーション）
4. 3.3.4.3.4（鈍い四角形のテッセレーション）
5. 3.4.6.4（rhombi-tri-hexagonalテッセレーション）
6. 4.8.8（切り捨てられた正方形のテッセレーション）
7. 3.12.12（切り捨てられた六角形のテセレーション）
8. 4.6.12（切り詰められた3角形のテセレーション）

準正規テッセレーションのいくつかの例を以下に示します。

例4：トライヘキサゴナルテセレーション

これは、3.6.3.6構造で正三角形と正六角形で構成されるものです。つまり、テッセレーションのノードは、三角形、六角形、三角形、六角形で囲まれています（1ターン完了するまで）。図6は、このようなテッセレーションを示しています。

図6.トライヘキサゴナルテッセレーション（3.6.3.6）は、セミレギュラーテッセレーションの例です。出典：ウィキメディア・コモンズ。

例5：鈍い六角形のテッセレーション

前の例のテッセレーションと同様に、これも三角形と六角形で構成されていますが、ノード周辺の分布は3.3.3.3.6です。図7は、このタイプのテッセレーションを明確に示しています。

図7.鈍い六角形のテッセレーションは、3.3.3.3.6構成の16個の三角形で囲まれた六角形で構成されています。出典：ウィキメディア・コモンズ。

例6：菱形-トリ-六角形のテセレーション

これは、図8に示す構成3.4.6.4の三角形、正方形、六角形で構成されるテッセレーションです。

図8. 3.4.6.4構成の三角形、正方形、および六角形で構成される半規則的なテッセレーション。出典：ウィキメディア・コモンズ。

不規則なテッセレーション

不規則なテッセレーションは、不規則なポリゴンまたは通常のポリゴンによって形成されるが、ノードが少なくとも3つのポリゴンの頂点であるという基準を満たさないものです。

実施例7

図9は、すべてのポリゴンが規則的で合同である不規則なテッセレーションの例を示しています。ノードは少なくとも3つの正方形の共通の頂点ではなく、エッジを完全に共有していない隣接する正方形もあるため、不規則です。

図9.すべてのタイルは合同な正方形ですが、これは不規則なテッセレーションの明確な例です。出典：F. Zapata。

実施例8

平行四辺形は平らな面を並べますが、それが正方形でないと、通常のテッセレーションを形成できません。

図10.モザイクは非正多角形であるため、平行四辺形によって形成されるテッセレーションは不規則です。出典：F. Zapata。

実施例9

次の図に示すように、中心対称の非規則的な六角形は、平面をテッセレーションします。

図11.平面が通常のテッセレーションではない場合でも中心対称の六角形。出典：F. Zapata。

例10：Cairoのテッセレーション

これは非常に興味深いテッセレーションで、辺の長さが等しいが角度が等しくない五角形で構成されています。2つは直線で、他の3つはそれぞれ120度です。

その名前は、このテッセレーションがエジプトのカイロの通りのいくつかの舗装にあるという事実に由来しています。図12はカイロのテッセレーションを示しています。

図12.カイロのテッセレーション。出典：ウィキメディア・コモンズ。

例11：Al-Andalusテッセレーション

アンダルシアと北アフリカの一部の地域のテッセレーションは、植生などの装飾要素に加えて、幾何学と文字が特徴です。

アルハンブラ宮殿などの宮殿のテッセレーションは、幾何学的パターンで解き放たれた複数の（無限ではないにしても）形状の多くの色のセラミック片で作られたタイルで構成されていました。

図13.アルハンブラ宮殿のテッセレーション。タータリア/パブリックドメイン

例12：ビデオゲームのテッセレーション

テセレーションとも呼ばれ、ビデオゲームで最も人気のあるノベルティの1つです。テクスチャを作成して、シミュレータに表示されるさまざまなシナリオのテッセレーションをシミュレートします。

これは、これらのコーティングが進化し続け、現実の境界を越えていることを明確に反映しています。

参考文献

1. 数学をお楽しみください。テッセレーション。回復元：enjoymatematicas.com
2. ルビニョス。テッセレーションで解決された例。から回復：matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein、Eric W.「半規則的なテッセレーション」。Weisstein、Eric W、ed。MathWorld。Wolfram Research。
4. ウィキペディア。テッセレーション。回復元：es.wikipedia.com
5. ウィキペディア。通常のテッセレーション。回復元：es.wikipedia.com