二等辺台形：プロパティ、関係、式、例 - 数学 - 2025

等脚台形の辺の二つは互いに平行であり、さらに、2つは、それらの平行側面の一方と同じ尺度を有するように隣接角度た四辺形です。

図1では、四角形のABCDがあり、ADとBCの辺は平行です。さらに、平行辺ADに隣接する角度∠DABと∠ADCの測定値αは同じです。

図1.二等辺台形。出典：F. Zapata。

したがって、この四辺形、つまり4辺のポリゴンは、事実上、二等辺台形になります。

台形では、平行な側面はベースと呼ばれ、平行でない側面はラテラルと呼ばれます。もう1つの重要な特性は、高さです。これは、平行な側面を隔てる距離です。

二等辺台形の他に、他の種類の台形があります。

-すべての角度とさまざまな側面を持つTの台形の斜角。

-長方形の台形で、片側に隣接する角度があります。

台形形状は、後で見るように、設計、建築、電子工学、計算などのさまざまな分野で一般的です。したがって、その特性に慣れることの重要性。

プロパティ

二等辺台形に限定

台形が二等辺の場合、次の特性があります。

1.-側面の寸法は同じです。

2.-底面に隣接する角度が等しい。

3.-反対の角度は補足です。

4.-対角線は同じ長さで、反対側の頂点を結ぶ2つのセグメントは同じです。

5.-底辺と対角線の間に形成される角度はすべて同じ尺度です。

6.-外接している。

逆に、台形が上記のプロパティのいずれかを満たす場合、それは二等辺台形です。

二等辺台形で、角度の1つが直角（90°）の場合、他のすべての角度も直角になり、長方形を形成します。つまり、長方形は二等辺台形の特定のケースです。

図2.ポップコーンコンテナーと学校のテーブルは、二等辺台形のような形をしています。出典：Pxfuel（左）/ Flickr経由のMcDowell Craig。（正しい）

すべてのブランコ

次の一連のプロパティは、すべての台形に有効です。

7.-台形の中央値、つまり非平行な辺の中点を結ぶ線分は、任意の底辺に平行です。

8.-中央値の長さは、その底の長さの半和（合計を2で割ったもの）と同じです。

9.-台形の中央値は、対角線を中点でカットします。

10.-台形の対角線は、底の商に比例して2つのセクションに分割する点で交差します。

11.-台形の対角線の2乗の合計は、その辺の2乗の合計にその底の2乗を加えたものに等しくなります。

12.-対角線の中点を結ぶ線分の長さは、底辺の半差と同じです。

13.-側面に隣接する角度は補足です。

14.-台形は、底辺の合計が辺の合計と等しい場合にのみ、内接円周を持ちます。

15.-台形に内接円周がある場合、その円周の中心にある頂点と同じ側の端を通過する辺との角度は直角です。

関係と式

次の関係と式のセットを図3に示します。二等辺台形に加えて、対角線、高さ、中央値など、すでに述べた他の重要なセグメントが示されています。

図3.二等辺台形の中央値、対角線、高さ、および外接円周。出典：F. Zapata。

二等辺台形のユニークな関係

1.- AB = DC = c = d

2.-∡DAB=∡CDAおよび∡ABC=∡BCD

3.-∡DAB+∡BCD=180ºおよび∡CDA+∡ABC=180º

4.- BD = AC

5.-∡CAD=∡BDA=∡CBD=∡BCA=α ₁

6.- A、B、C、Dは外接円に属します。

ブランコの関係

1. AK = KBおよびDL = LCの場合⇒KL-ADおよびKL-BC

8.- KL =（AD + BC）/ 2

9.- AM = MC = AC / 2およびDN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BCおよびDO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² +2⋅AD⋅BC

12.- MN =（AD-BC）/ 2

13.-∡DAB+∡ABC=180ºおよび∡CDA+∡BCD=180º

14.- AD + BC = AB + DCの場合⇒∃RはAD、BC、ABおよびDCから等距離

15.-∃RがAD、BC、ABおよびDCから等距離にある場合：

∡BRA=∡DRC=90º

内接円周を伴う二等辺台形の関係

二等辺台形では、底の合計が横の2倍に等しい場合、内接円周が存在します。

図4.円周が内接した台形。出典：F. Zapata。

二等辺台形に内接円周がある場合、次のプロパティが適用されます（上記の図4を参照）。

16.- KL = AB = DC =（AD + BC）/ 2

17.-対角線が直角に交わる：AC⊥BD

18.-高さは中央値と同じように測定されます：HF = KL、つまりh = m。

19.-高さの2乗は底の積に等しい：h ² =BC⋅AD

20.-これらの特定の条件下では、台形の面積は高さの2乗または底の積に等しくなります。面積= h ² =BC⋅AD。

片側を決定し、他の側と角度を知るための式

ベース、横方向、および角度が分かれば、他のベースは次のように決定できます。

a = b + 2c Cosα

b = a-2c Cosα

底の長さと角度が既知のデータとして与えられている場合、両側の長さは次のようになります。

c =（a-b）/（2 Cosα）

片側の決定、他の側と対角線を知っている

a =（d ₁ ² -c ²）/ b;

b =（d ₁ ² -c ²）/ a

c =√（d ₁ ² -a⋅b）

ここで、d ₁は対角線の長さです。

高さ、面積、その他のベースからのベース

a =（2 A）/ h-b

b =（2 A）/ h-a

既知の側底、面積、角度

c =（2A）/

既知の横方向中央値、面積、角度

c = A /（m sinα）

側面の既知の高さ

h =√

角度と両側の既知の高さ

h = tgα⋅（a-b）/ 2 = c。罪α

既知の対角線のすべての側面、または2つの側面と角度

d ₁ =√（c ² + ab）

D ₁ =√（² + C ² - αコス2 AC）

D ₁ =√（B ² + C ² - 2のCoSβBC）

二等辺三角形の周囲

P = a + b + 2c

二等辺台形領域

既知のデータに応じて、面積を計算するためのいくつかの式があります。以下は、ベースと高さに応じて最もよく知られています。

A =h⋅（a + b）/ 2

そして、これらの他のものを使用することもできます：

-側面がわかっている場合

A =√

-2つの側面と角度がある場合

A =（b + c Cosα）c Senα=（a-c Cosα）c Senα

-内接円の半径と角度がわかっている場合

A = 4 r ² / Senα= 4 r ² / Senβ

-底面と角度がわかっている場合

A =a⋅b/ Senα=a⋅b/ Senβ

-台形が円周に刻印できる場合

A =c⋅√（a⋅b）=m⋅√（a⋅b）=r⋅（a + b）/ 2

-対角線とそれらが互いに形成する角度を知る

A =（D ₁ ² /2）、γ=セン（D ₁ ²センδ/ 2）

-側面、中央値、角度がある場合

A = mc.senα= mc.senβ

外接円の半径

二等辺台形のみが外接円周を持ちます。より大きい底a、横cおよび対角d _{1がわかっている}場合、台形の4つの頂点を通過する円の半径Rは次のようになります。

R =a⋅c⋅d ₁ /4√

ここで、p =（a + c + d ₁）/ 2

二等辺台形の使用例

図2に示すように、二等辺台形が設計のフィールドに表示されます。さらに、いくつかの追加の例を次に示します。

建築と建設において

古代インカ人は二等辺台形を知っていて、ペルーのクスコにあるこの窓の建築要素として使用しました。

図5。クスコのコリカンチャの台形の窓。出典：ウィキメディア・コモンズ。

そして、ここでは台形がいわゆる台形シートに再び現れます。これは、建設で頻繁に使用される材料です。

図6.建物の窓を一時的に保護する台形の金属シート。出典：ウィキメディア・コモンズ。

設計上

二等辺台形は、このチョコレートバーのような食べ物を含む、日常の物体に現れることをすでに見ました。

図7.面が二等辺台形のような形をしたチョコレートバー。出典：Pxfuel。

解決された演習

-演習1

二等辺台形の底辺は9 cmを超え、底辺は3 cm未満で、対角線はそれぞれ8 cmです。計算：

a）サイド

b）高さ

c）境界

d）エリア

図8.演習のスキーム1.出典：F. Zapata

への解決策

高さCP = hがプロットされ、高さの足がセグメントを定義します。

PD = x =（ab）/ 2 y

AP = a-x = a-a / 2 + b / 2 =（a + b）/ 2。

ピタゴラスの定理を直角三角形DPCに使用します。

C ² = H ² +（ - b）は、² /4

そして、直角三角形のAPCにも：

D ² = H ² + AP ² = H ² +（+ b）が² /4

最後に、メンバーごとに減算され、最初の式から2番目の式が簡略化されます。

d ² -c ² =¼=¼

d ² -c ² =¼= ab

C ² = D ² - AB⇒C =√（D ² - AB）=√（8 ² - 9⋅3）=√37= 6.08センチメートル

ソリューションb

H ² = D ²（+ b）は- ² /4 = 8 ² - （12 ² /2 ²）= 8 ² - 6 ² = 28

h = 2√7= 5.29 cm

ソリューションc

外周= a + b + 2 c = 9 + 3 +2⋅6.083= 24.166 cm

ソリューションd

面積= h（a + b）/ 2 = 5.29（12）/ 2 = 31.74 cm

-演習2

大きい底が小さいものの2倍であり、小さい底が高さ（6 cm）に等しい二等辺台形があります。決めます：

a）横の長さ

b）境界

c）エリア

d）角度

図8.演習2のスキーム。出典：F. Zapata

への解決策

データ：a = 12、b = a / 2 = 6およびh = b = 6

次のように進めます。高さhを描画し、ピタゴラスの定理を斜辺三角形«c»と脚hおよびxに適用します。

c ² = h ² + xc ²

次に、データ（h = b）と脚の高さxから高さの値を計算する必要があります。

a = b + 2 x⇒x =（ab）/ 2

前の式を代入すると、次のようになります。

C ² = B ² +（AB）² /2 ²

これで数値が導入され、簡略化されました：

c ² = 62+（12-6）2/4

c ² = 62（1 +¼）= 62（5/4）

入手：

c =3√5= 6.71 cm

ソリューションb

境界P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 +6√5= 6（8 +√5）= 61.42 cm

ソリューションc

ベースの高さと長さの関数としての面積は次のとおりです。

A =h⋅（a + b）/ 2 =6⋅（12 + 6）/ 2 = 54 cm ²

ソリューションd

側面がより大きな底で形成する角度αは、三角法によって得られます。

タン（α）= h / x = 6/3 = 2

α= ArcTan（2）=63.44º

もう1つの角度は、底辺が小さい側面を形成する角度であり、αを補足するβです。

β=180º-α=180º-63.44º=116.56º

参考文献

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