関数f（x）の逆導関数 F（x）は、プリミティブまたは単にその関数の不定積分とも呼ばれます。指定された間隔Iで、F´（x）= f（x）が満たされる場合
たとえば、次の関数を見てみましょう：
f（x）= 4x 3
この関数の逆導関数はF（x）= x 4です。これは、べき乗の導出規則を使用してF（x）を微分する場合です。
正確にf（x）= 4x 3を取得します。
ただし、これはf（x）の多くの逆導関数の1つにすぎません。これは、この他の関数G（x）= x 4 + 2でもあるためです。これは、xに関してG（x）を微分すると、戻るf（x）。
それをチェックしよう：
定数の導関数は0であることを忘れないでください。したがって、項x 4に任意の定数を追加でき、その導関数は4x 3のままです。
一般形式F（x）= x 4 + C（Cは実定数）の関数は、f（x）の逆導関数として機能すると結論付けられます。
上記の例は次のように表現できます。
dF（x）= 4x 3 dx
逆微分または不定積分は記号withで表されるため、次のようになります。
F（X）=∫4x 3 DX = X 4 + C
ここで、関数f（x）= 4x 3は被積分関数と呼ばれ、Cは積分定数です。
抗誘導体の例
図1.逆導関数は不定積分にすぎません。出典：Pixabay。
関数の反導関数を見つけることは、導関数がよく知られている場合には簡単です。たとえば、関数f（x）= sin xとすると、その微分は別の関数F（x）であり、微分するとf（x）になります。
その関数は次のとおりです。
F（x）=-cos x
それが真であることを確認しましょう：
F´（x）=（-cos x） ´=-（-sen x）= sin x
したがって、次のように書くことができます。
∫senx dx = -cos x + C
導関数を知ることに加えて、逆導関数または不定積分を見つけるためのいくつかの基本的で単純な統合ルールがあります。
kを実定数とすると、次のようになります。
1.-∫kdx = k∫dx= kx + C
2.-∫kf（x）dx = k∫f（x）dx
関数h（x）が2つの関数の加算または減算として表現できる場合、その不定積分は次のようになります。
3.-∫h（x）dx =∫dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
これは線形性の特性です。
積分の力の法則はこのようにして確立することができます：
n = -1の場合、次のルールが使用されます。
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
ln xの導関数が正確にx -1であることを示すのは簡単です。
微分方程式
微分方程式は、未知数が導関数として見つかる方程式です。
ここで、以前の分析から、導関数の逆演算が反導関数または不定積分であることを簡単に認識できます。
f（x）= y´（x）、つまり特定の関数の導関数とします。次の表記法を使用して、この派生物を示すことができます。
それはすぐに続きます：
微分方程式の未知数は、微分がf（x）である関数y（x）です。それを解決するために、前の式は両側で統合されています。これは、逆導関数を適用することと同じです。
左積分は、k = 1で、積分ルール1によって解かれます。したがって、必要な未知数を解きます。
また、Cは実定数なので、どちらが適切かを知るために、ステートメントにはCの値を計算するのに十分な追加情報が含まれている必要があります。これは初期条件と呼ばれます。
これらすべての適用例を次のセクションで示します。
抗誘導体体操
-演習1
統合ルールを適用して、指定された関数の次の逆微分または不定積分を取得し、結果を可能な限り簡略化します。導出により結果を検証すると便利です。
図2.反微分または定積分の演習。出典：Pixabay。
への解決策
被積分関数は2つの項の合計であるため、最初にルール3を適用します。
∫（x + 7）dx =∫xdx +∫7dx
最初の積分には、べき則が適用されます。
∫DX =（X 2 /2）+ C 1
2番目の積分ルールでは、1が適用されます。ここで、k = 7です。
∫7dx=7∫dx= 7x + C 2
そして今、結果が追加されます。2つの定数は1つにグループ化され、一般的にCと呼ばれます。
∫（X + 7）DX =（X 2 /2）+ 7X + C
ソリューションb
線形性により、この積分は3つのより単純な積分に分解され、パワールールが適用されます。
∫（X 3/2 + X 2 + 6）DX =∫x 3/2 DX +∫x 2 DX +∫6DX =
積分定数は積分ごとに表示されますが、それらは1回の呼び出しCで出会うことに注意してください。
ソリューションc
この場合、被乗数を展開するために、乗算の分布特性を適用すると便利です。次に、パワールールを使用して、前の演習と同様に、各積分を個別に検索します。
∫（x + 1）（3x-2）dx =∫（3x 2 -2x + 3x-2）dx =∫（3x 2 + x-2）dx
注意深い読者は、2つの中心的な用語は類似しているため、統合する前に省略されています。
∫（X + 1）（3X-2）DX =∫3x 2 DX +∫X DX +∫-2 DX = X 3 +（1/2）× 2 - 2X + C
ソリューションe
積分を解く1つの方法は、例dで行ったように、パワーを開発することです。ただし、指数が高いので、変数を変更することをお勧めします。そうすることで、このような長い開発を行う必要がなくなります。
変数の変更は次のとおりです。
u = x + 7
この式を両側に導出します。
du = dx
積分は、新しい変数でより単純なものに変換されます。これは、べき乗則で解決されます。
∫（x + 7）5 dx =∫u 5 du =（1/6）u 6 + C
最後に、変更が戻されて元の変数に戻ります。
∫（x + 7）5 dx =（1/6）（x + 7）6 + C
-演習2
パーティクルは最初は静止しており、x軸に沿って移動します。t> 0に対するその加速度は、関数a（t）= cos tによって与えられます。t = 0では、位置はすべてx = 3であり、すべて国際システムの単位です。粒子の速度v（t）と位置x（t）を見つけるように求められます。
解決
加速度は時間に対する速度の1次導関数であるため、次の微分方程式があります。
a（t）= v´（t）= cos t
それはそれに従います：
v（t）=∫cos t dt = sin t + C 1
一方、速度は位置の微分であることがわかっているため、再積分します。
X（T）=∫V（t）は、DT =∫（罪T + C 1）DT =∫senT DT +∫C 1 DT = - COS T + C 1 T + C 2
積分の定数は、ステートメントで与えられた情報から決定されます。そもそも、パーティクルは最初は静止していたため、v（0）= 0であるとしています。
v（0）= sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
次に、x（0）= 3になります。
x（0）=-cos 0 + C 1 0 + C 2 =-1 + C 2 = 3→C 2 = 3 + 1 = 4
速度と位置の関数は間違いなくこのようなものです：
v（t）= sin t
x（t）=-cos t + 4
参考文献
- Engler、A。2019。積分。リトラル国立大学。
- ラーソン、R。2010。変数の計算。9日。版。マグローヒル。
- 数学フリーテキスト。抗誘導体。回収元：math.liibretexts.org。
- ウィキペディア。抗誘導体。から回復：en.wikipedia.org。
- ウィキペディア。無期限の統合。回復元：es.wikipedia.org。