数学の近似は、何かの正確な値ではない数値ですが、非常に近いため、その正確な値と同じくらい有用であると見なされます。
数学で近似が行われるとき、それは手動で必要なものの正確な値を知ることが難しい（または場合によっては不可能）ためです。
近似を扱うときの主なツールは、関数の微分です。
Δf（x）で表される関数fの微分は、関数fの導関数に独立変数の変化を掛けたものにすぎません。つまり、Δf（x）= f '（x）*Δxです。
ΔfとΔxの代わりにdfとdxが使用される場合があります。
微分を使用した近似
微分を通じて近似を実行するために適用される式は、極限としての関数の導関数の定義から正確に生じます。
この式は次の式で与えられます。
f（x）≈f（x0）+ f '（x0）*（x-x0）= f（x0）+ f'（x0）*Δx。
ここでは、Δx= x-x0、したがってx = x0 +Δxであると理解されます。これを使用すると、式は次のように書き換えられます。
f（x0 +Δx）≈f（x0）+ f '（x0）*Δx。
なお、「ｘ０」は任意の値ではなく、ｆ（ｘ０）が容易にわかるような値である。さらに、「f（x）」は、近似する値にすぎません。
より良い近似はありますか？
答えはイエスです。上記は、「線形近似」と呼ばれる最も単純な近似です。
より良い品質の近似（生成されるエラーが少ない）の場合、 "テイラー多項式"と呼ばれるより多くの導関数を持つ多項式、およびニュートンラプソン法などの他の数値法が使用されます。
戦略
従うべき戦略は次のとおりです。
-近似を実行する適切な関数fと値«x»を選択して、f（x）を近似する値にします。
-f（x0）の計算が容易になるように、「x」に近い値「x0」を選択します。
-Δx= x-x0を計算します。
-関数y f '（x0）の導関数を計算します。
-式のデータを置き換えます。
解決された近似演習
続くものには、微分を使用して近似が行われる一連の演習があります。
最初の練習
約√3。
解決
戦略に従って、適切な関数を選択する必要があります。この場合、選択する関数はf（x）=√xでなければならず、近似される値はf（3）=√3であることがわかります。
ここで、f（x0）の計算が簡単になるように、「3」に近い値「x0」を選択する必要があります。「x0 = 2」を選択すると、「x0」は「3」に近くなりますが、f（x0）= f（2）=√2の計算は容易ではありません。
「4」は「3」に近く、f（x0）= f（4）=√4= 2であるため、「x0」の適切な値は「4」です。
「x = 3」および「x0 = 4」の場合、Δx= 3-4 = -1。次に、fの導関数の計算に進みます。つまり、f '（x）= 1/2 *√x、つまりf'（4）= 1 /2√4= 1/2 * 2 = 1/4となります。
取得した数式のすべての値を代入します：
√3= f（3）≈2 +（1/4）*（-1）= 2-1/4 = 7/4 = 1.75。
計算機を使用すると、√3≈1.73205が得られます…これは、前の結果が実際の値の適切な近似であることを示しています。
2番目の練習
約√10。
解決
前と同様に、f（x）=√xyが関数として選択されます。この場合、x = 10です。
今回選択するx0の値は「x0 = 9」です。Δx= 10-9 = 1、f（9）= 3、f '（9）= 1 /2√9= 1/2 * 3 = 1/6となります。
式で評価すると、
√10= f（10）≈3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…
電卓を使用すると、√10≈3.1622776…が得られます。ここでも、以前に良好な近似が得られたことがわかります。
3番目の練習
およそ³√10。、√は立方根を示します。
解決
明らかに、この演習で使用する関数はf（x）=³√xであり、「x」の値は「10」でなければなりません。
その立方根がわかるように「10」に近い値は「x0 = 8」です。次に、Δx= 10-8 = 2であり、f（x0）= f（8）= 2であることがわかります。また、f '（x）= 1/3 *、√x²であり、その結果f'（8）= 1/3 *³√8²= 1/3 *³√64= 1/3 * 4 = 1/12。
式のデータを代入すると、次のようになります。
³√10= f（10）+ 2 +（1/12）* 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666…。
計算機は³√10≈2.15443469…と言っています…したがって、見つかった近似は良好です。
4番目の練習
近似ln（1.3）。ここで、「ln」は自然対数関数を示します。
解決
最初に、関数としてf（x）= ln（x）を選択し、 "x"の値は1.3です。これで、対数関数について少し知っていれば、ln（1）= 0であり、さらに「1」は「1.3」に近いことがわかります。したがって、「x0 = 1」が選択されるため、Δx= 1.3-1 = 0.3となります。
一方、f '（x）= 1 / xなので、f'（1）= 1となります。与えられた式で評価すると、次のようになります。
ln（1.3）= f（1.3）≈0 + 1 * 0.3 = 0.3。
電卓を使用すると、ln（1.3）≈0.262364…となるので、作成された近似は良好です。
参考文献
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