五角形の領域をどのように見つけますか？ - 数学

五角形の面積は、三角形分割と呼ばれる方法を使用して計算され、これは任意の多角形に適用できます。この方法では、五角形をいくつかの三角形に分割します。

この後、各三角形の面積が計算され、最後に見つかったすべての面積が追加されます。結果は五角形の面積になります。

五角形は、台形や右側の図のような三角形など、他の幾何学的形状に分割することもできます。

問題は、大きい方のベースの長さと台形の高さが簡単に計算できないことです。また、赤い三角形の高さを計算する必要があります。

五角形の領域を見つける方法は？

五角形の面積を計算する一般的な方法は三角測量ですが、五角形が規則的であるかどうかに応じて、この方法は単純な場合と少し長くなる場合があります。

面積を計算する前に、アポテムが何であるかを知る必要があります。

正五角形（正多角形）のアポテムは、五角形（多角形）の中心から五角形（多角形）の片側の中点までの最小距離です。

つまり、アポテムとは、五角形の中心から片側の中点までの線分の長さです。

辺の長さが「L」である正五角形を考えてみましょう。そのアポテムを計算するには、まず中心角αを辺の数で割ります。つまり、α=360º/ 5 =72ºです。

ここで、三角比を使用して、アポテムの長さが次の画像に示すように計算されます。

したがって、アポテムの長さはL / 2tan（36º）= L / 1.45です。

五角形を三角化することで、以下のような図形が得られます。

5つの三角形はすべて同じ面積です（正五角形であるため）。したがって、五角形の面積は三角形の面積の5倍です。つまり、五角形の面積= 5 *（L * ap / 2）です。

アポテムの値を代入すると、面積はA = 1.72 *L²になります。

したがって、正五角形の面積を計算するには、片側の長さを知っていれば十分です。

辺の長さがL1、L2、L3、L4、L5であるような不規則な五角形から始めます。この場合、アポセムは以前と同じようには使用できません。

三角測量を実行すると、次のような図が得られます。

次に、これら5つの内部三角形の高さを描画して計算します。

したがって、内側の三角形の面積はT1 = L1 * h1 / 2、T2 = L2 * h2 / 2、T3 = L3 * h3 / 2、T4 = L4 * h4 / 2、およびT5 = L5 * h5 / 2です。

h1、h2、h3、h4、およびh5の値は、それぞれ各三角形の高さです。

最後に、五角形の面積は、これらの5つの面積の合計です。つまり、A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5です。

ご覧のように、不規則な五角形の面積の計算は、通常の五角形の面積の計算よりも複雑です。

ガウス行列式と呼ばれる、不規則な多角形の面積を計算できる別の方法もあります。

この方法は、デカルト平面上にポリゴンを描画することで構成され、次に各頂点の座標が計算されます。

頂点は反時計回りに列挙され、最後に特定の行列式が計算されて、問題のポリゴンの面積が最終的に取得されます。