円柱座標を三次元空間内の点を特定し、φ方位座標、ρ座標、zは高さ座標半径で構成するために使用されます。
空間にある点PはXY平面に直角に投影され、その平面に点P 'が生じます。原点から点Pまでの距離が座標ρを定義し、X軸が光線OPとなす角度が座標φを定義します。最後に、z座標はZ軸上の点Pの正射影です。（図1を参照）。
図1.円柱座標のポイントP（ρ、φ、z）。（独自の詳細）
半径座標ρは常に正であり、方位座標φはゼロラジアンから2ラジアンに変化しますが、z座標は実際の値を取ることができます。
0≤ρ<∞
0≤φ<2π
-∞<z <+∞
座標の変更
円柱座標（ρ、φ、z）から点Pのデカルト座標（x、y、z）を取得することは比較的簡単です。
x =ρcos（φ）
y =ρsin（φ）
z = z
しかし、点Pのデカルト座標（x、y、z）の知識から始めて極座標（ρ、φ、z）を取得することも可能です。
ρ=√（x 2 + y 2）
φ=アークタン（y / x）
z = z
円柱座標のベクトルベース
円筒形単位ベクトルの底Uρ、Uφ、Uzが定義されます。
ベクトルUρは、直線φ= ctteおよびz = ctte（半径方向外側を指す）に接し、ベクトルUφは、直線ρ= ctteおよびz = ctteに接し、最終的にUzはZ軸と同じ方向になります。
図2.円柱座標ベース。（ウィキメディア・コモンズ）
円筒単位ベースでは、点Pの位置ベクトルrは、次のようにベクトルで記述されます。
r = ρUρ + 0Uφ + z Uz
一方、点Pからの微小変位d rは次のように表されます。
D R =dρ Uρ +ρDφ Uφ + DZ ウズ
同様に、円柱座標のボリュームdVの微小要素は次のとおりです。
dV =ρdρdφdz
例
円筒座標の使用と適用の例は無数にあります。たとえば、地図作成では、これらの座標に正確に基づいて、円柱投影が使用されます。さらに例があります：
例1
円柱座標は、テクノロジーに応用されています。例として、実際には複数のディスクで構成されるハードディスク上のデータの場所のCHS（Cylinder-Head-Sector）システムがあります。
-シリンダーまたはトラックは、座標ρに対応します。
-セクターは、高角速度で回転するディスクの位置φに対応します。
-ヘッドは、対応するディスクの読み取りヘッドのz位置に対応しています。
情報の各バイトには、円筒座標（C、S、H）で正確なアドレスがあります。
図2.ハードディスクシステム上の円筒座標での情報の場所。（ウィキメディア・コモンズ）
例2
建設用クレーンは、負荷の位置を円筒座標で固定します。水平位置は、クレーンの軸または矢印ρまでの距離と、ある基準軸に対する角度位置φによって定義されます。荷重の垂直位置は、高さのz座標によって決まります。
図3.建設用クレーンの荷重の位置は、円筒座標で簡単に表現できます。（画像pixabay-注釈R.ペレス）
解決された演習
演習1
円柱座標（3、120º、-4）のポイントP1と円柱座標（2、90º、5）のポイントP2があります。これらの2点間のユークリッド距離を求めます。
解決策：最初に、上記の式に従って各ポイントのデカルト座標を見つけます。
P1 =（3 * cos120º、3 * sin120º、-4）=（-1.5、2.60、-4）
P2 =（2 * cos90º、2 * sin90º、5）=（0、2、5）
P1とP2の間のユークリッド距離は次のとおりです。
d（P1、P2）=√（（0-（-1.5））2 +（2-2.60）2 +（5-（-4））2）=…
…√（2.25 + 0.36 + 81）= 9.14
演習2
ポイントPはデカルト座標（-3、4、2）を持ちます。対応する円筒座標を見つけます。
解決策：上記の関係を使用して、円筒座標を見つけます。
ρ=√（x 2 + y 2）=√（（-3）2 + 4 2）=√（9 + 16）=√（25）= 5
φ= arctan（y / x）= arctan（4 /（-3））=-53.13º+180º=126.87º
z = 2
逆正接関数は180度の周期性を持つ多値であることを忘れないでください。また、点Pのx座標とy座標は第2象限にあるため、角度φは第2象限に属している必要があります。これが結果φに180ºを加えた理由です。
演習3
円柱座標で表現し、デカルト座標で半径2の円柱の表面を表現します。その軸はZ軸と一致します。
解：円柱はz方向に無限に伸びているので、円柱座標での上記表面の方程式は次のとおりです。
ρ= 2
円筒面のデカルト方程式を取得するには、前の方程式の両方のメンバーの2乗を使用します。
ρ 2 = 4
上記の等式の両方のメンバーに1を掛けて、基本的な三角関数の同一性を適用します（sin 2（φ）+ cos 2（φ）= 1）：
1 *ρ 2 = 1 * 4
（SIN 2 COS（φ）+ 2（φ））*ρ 2 = 1 * 4
括弧は、以下を取得するために作成されます。
（ρsin（φ））2 +（ρcos（φ））2 = 4
最初の括弧（ρsin（φ））は極座標での点のy座標であり、括弧（ρcos（φ））はx座標を表すので、円柱の方程式が座標であることがわかります。デカルト：
y 2 + x 2 = 2 2
上記の式は、XY平面の円周の式と混同しないでください。この場合、次のようになります。{y 2 + x 2 = 2 2 ; z = 0}。
演習4
半径R = 1 m、高さH = 1mの円柱は、次の方程式に従って半径方向に分布する質量を持ちますD（ρ）= C（1-ρ/ R）ここで、Cは値C = 1 kg / m 3の定数です。シリンダーの総質量をキログラムで求めます。
解決策：最初に、関数D（ρ）は体積質量密度を表し、質量密度は中心から周辺に向かって密度が減少する円筒シェルに分布していることを認識します。問題の対称性によるボリュームの微小要素は次のとおりです。
dV =ρdρ2πH
したがって、円筒シェルの微小質量は次のようになります。
dM = D（ρ）dV
したがって、円柱の総質量は次の定積分で表されます。
M =∫ またはR D（ρ）dV =∫ またはR C（1-ρ/ R）ρdρ2πH =2πHC∫ またはR（1-ρ/ R）ρdρ
示された積分の解を得るのは難しくなく、その結果は次のとおりです。
∫ またはR（1-ρ/ R）ρdρ=（⅙）R 2
この結果をシリンダーの質量の表現に組み込むと、以下が得られます。
M =2πHC（⅙）R 2 =⅓πHCR 2 =
⅓π1m * 1kg / m 3 * 1m 2 =π/ 3 kg≈1.05 kg
参考文献
- Arfken GおよびWeber H.（2012）。物理学者のための数学的な方法。包括的なガイド。第7版。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-384654-9
- 計算cc 円柱座標と球座標の問題を解決しました。リカバリー元：calculo.cc
- Weisstein、Eric W.「Cylindrical Coordinates」。MathWorldから– Wolfram Web。回収元：mathworld.wolfram.com
- ウィキペディア。円筒座標系。から回復：en.wikipedia.com
- ウィキペディア。円柱座標と球座標のベクトル場。から回復：en.wikipedia.com