球面座標は座標と極座標と座標方位と呼ばれる2点の角座標半径からなる3次元空間内の位置点の集合です。
以下に示す図1は、点Mの球面座標（r、θ、φ）を示しています。これらの座標は、原点Oの直交軸X、Y、Zの直交系と呼ばれます。
図1.点Mの球面座標（r、θ、φ）（ウィキメディア・コモンズ）
この場合、点Mの座標rは、その点から原点Oまでの距離です。極座標θは、正の半軸Zと半径ベクトルOMの間の角度を表します。一方、方位角座標φは、正の半軸Xと半径ベクトルOM 'の間の角度です。ここで、M'は、XY平面上のMの正射影です。
半径座標rは正の値のみを受け取りますが、点が原点にある場合、r = 0です。極座標θは、正の半軸Zに位置する点の最小値0ºとして、点の最大値180ºは負の半軸Zに位置します。最後に、方位角座標φは最小値0ºと最大の高さ360ºとして扱います。
0≤r <∞
0≤θ≤180º
0≤φ<360º
座標の変更
次に、点Mのデカルト座標（x、y、z）を取得できる式は、同じ（r、θ、φ）点の球面座標が既知であると仮定して与えられます。
x = r Sen（θ）Cos（φ）
y = r Sen（θ）Sen（φ）
z = r Cos（θ）
同様に、特定の点のデカルト座標（x、y、z）からその点の球面座標へ行く関係を見つけることは有用です：
r =√（x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2）
θ=アークタン（√（x ^ 2 + y ^ 2）/ z）
φ=アークタン（y / x）
球座標のベクトルベース
球面座標から、基底ベクトルの正規直交基底が定義されます。基底ベクトルは、Ur、Uθ、Uφで表されます。図1には、次の3つの単位ベクトルが示されています。
- ウルは、ラジアルラインθ= ctteおよびφ= ctteに単位ベクトルの接線です。
- Uθは円弧φ= ctte及びr = ctteに単位ベクトルの接線です。
- Uφは円弧R = ctteとθ= ctteに単位ベクトルの接線です。
球座標の線要素と体積要素
球座標における空間内の点の位置ベクトルは、次のように記述されます。
r = r Ur
ただし、これらの座標における3次元空間内の点の微小変動または変位は、次のベクトル関係によって表されます。
d r = dr Ur + rdθUθ + r Sen（θ）dφUφ
最後に、球座標の微小ボリュームdVは次のように記述されます。
dV = r ^ 2 Sen（θ）drdθdφ
これらの関係は、球対称の物理的状況で線積分と体積積分を計算するのに非常に役立ちます。
地理座標との関係
地理座標は、地表面上の場所を特定するために役立つ座標と理解されています。このシステムは、緯度と経度の座標を使用して、地球の表面上の位置を特定します。
地理座標系では、地球の表面は極Rで平坦化されていることがわかっているにもかかわらず、半径Rtの球面であると見なされ、緯線および子午線と呼ばれる架空の線のセットが考慮されます。
図2.地球表面上の観測者の経度αと緯度β。
緯度βは、地球の中心から開始点までの半径によって形成される角度です。図2に示すように、赤道面から測定されます。一方、経度αは、配置されているポイントの子午線がゼロ子午線（グリニッジ子午線として知られている）に対して形成する角度です。
緯度は、北半球にあるか南半球にあるかによって、北または南の緯度になります。同様に、経度は、場所がゼロ子午線の西か東かに応じて、西または東になります。
地理から球形に変更する式
これらの式を取得するには、まず座標系を確立する必要があります。XY平面は、赤道面と一致するように選択されています。正のX半軸は、地球の中心からゼロ経線を通る軸です。次に、Y軸は子午線90度を通過し、地球の表面の半径はRtです。
この座標系を使用すると、地理から球形への変換は次のようになります。
αEβN→（Rt、θ=90º-β、φ=α）
αOβN→（Rt、θ=90º-β、φ=360º-α）
αEβS→（Rt、θ=90º+β、φ=α）
αOβS→（Rt、θ=90º+β、φ=360º-α）
例
例1
パルマデマヨルカ（スペイン）の地理座標：
東経38.847度、北緯度39.570度。パルマデマヨルカに対応する球座標を決定するには、前のセクションの式の最初の式を適用します。
38,847ºE39,570ºN→（r = 6371 km、θ=90º-39,570º、φ=38,847º）
したがって、球座標は次のとおりです。
パルマデマヨルカ：（r = 6371 km、θ=50.43º、φ=38.85º）
前の回答では、rは地球の平均半径と等しくとられています。
例2
マルビナス（フォークランド）諸島の地理座標が59ºO51.75ºSであることを知って、対応する極座標を決定します。X軸は地球の中心から0º子午線と赤道面上にあることに注意してください。赤道面にもあり、90度西経線を通るY軸。最後に、南北方向の地球の回転軸上のZ軸。
次に、対応する球面座標を見つけるために、前のセクションで示した式を使用します。
59ºO51.75ºS→（r = 6371 km、θ=90º+51.75º、φ=360º-59º）である
マルビナス：（r = 6371 km、θ=141.75º、φ=301º）
演習
演習1
図2に示すXYZデカルト参照システムでパルマデマヨルカのデカルト座標を見つけます。
解決策：以前の例1では、球座標はパルマデマヨルカの地理座標から取得されていました。したがって、上に示した式を使用して、球形から直交座標に移動できます。
x = 6371 kmセン（50.43º）Cos（38.85º）
y = 6371 kmセン（50.43º）セン（38.85º）
z = 6371 km Cos（50.43º）
対応する計算を実行します。
パルマデマヨルカ：（x = 3825 km、y = 3081 km、z = 4059）
演習2
図2に示すXYZデカルト参照系で、フォークランド諸島のデカルト座標を見つけます。
解決策：以前の例2では、マルビナス諸島の地理座標から開始して球面座標が取得されていました。したがって、上に示した式を使用して、球形から直交座標に移動できます。
x = 6371 kmセン（141.75º）Cos（301º）
y = 6371 kmセン（141.75º）セン（301º）
z = 6371 km Cos（141.75º）
対応する計算を実行すると、以下が得られます。
フォークランド諸島：（x = 2031 km、y = -3381 km、z = -5003）
参考文献
- Arfken GおよびWeber H.（2012）。物理学者のための数学的な方法。包括的なガイド。第7版。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-384654-9
- 計算cc 円柱座標と球座標の問題を解決しました。リカバリー元：calculo.cc
- 天文学のワークショップ。緯度と経度。回収元：tarifamates.blogspot.com/
- Weisstein、Eric W.「球座標」。MathWorld-A Wolfram Webから。回収元：mathworld.wolfram.com
- ウィキペディア。球座標系。から回復：en.wikipedia.com
- ウィキペディア。円柱座標と球座標のベクトル場。から回復：en.wikipedia.com