直交座標又はデカルトは直角に突出する3つのデカルト軸X、Y、Z 3内に位置する点に得られるものである - 次元空間。
デカルト軸は、互いに垂直な相互に方向付けられた線です。デカルト座標系では、空間内の各点に、その直交座標である3つの実数が割り当てられます。
図1.ポイントPの直交座標（独自の詳細）
平面は3次元空間の部分空間です。平面上の点を考慮する場合、直交座標系として垂直軸X、Yのペアを選択するだけで十分です。次に、平面上の各点に、その直交座標である2つの実数が割り当てられます。
直交座標の原点
直交座標は、元々はフランスの数学者ルネデカルト（1596および1650）によって提案されたため、デカルト座標と呼ばれています。
デスカルテスのこのアイデアでは、平面と空間の点に番号が割り当てられるため、幾何学図形には代数方程式が関連付けられ、古典的な幾何学定理を代数的に証明できます。デカルト座標で、分析ジオメトリが生まれます。
デカルト平面
平面内にある場合、点Oで交差する2つの垂直線が選択されます。各線に加えて、連続する等距離の点間の方向と数値スケールが割り当てられている場合、平面の各点が、それぞれの投影である2つの実数の順序付けられたペアに関連付けられているデカルトシステムまたは平面があります。 X軸とY軸。
ポイントA =（3、2）; B =（-2、3）; C =（-2、-3）およびD =（3、-3）は、次に示すようにデカルト平面で表されます。
図2.デカルト平面の点。（独自の詳細）
2つの軸XとYは、平面を象限と呼ばれる4つのセクターに分割することに注意してください。ポイントAは第1象限にあり、ポイントBは第2象限にあり、ポイントCは第3象限にあり、ポイントDは第4象限にあります。
2点間の距離
デカルト平面上の2つのポイントAとBの間の距離は、それらを結ぶセグメントの長さです。この距離は、次のように分析的に計算できます。
d（A、B）=√（Bx-Ax）^ 2 +（By-Ay）^ 2）
上記の式は、ピタゴラスの定理を適用して得られます。
この式を図2のポイントA、Bに適用すると、次のようになります。
d（A、B）=√（-2-3）^ 2 +（3-2）^ 2）=√（-5）^ 2 + 1 ^ 2）=√（26）
つまり、d（A、B）= 5.10単位です。定規で測定する必要なしに距離が得られたことに注意してください。完全に代数的な手順に従っています。
ラインの分析的表現
長方形の座標を使用すると、ポイントやラインなどの基本的な幾何学的オブジェクトを分析的に表現できます。2つの点AとBは、単一の線を定義します。線の傾きは、点BのY座標の差からAを引いた値を、点BのX座標の差からAを引いた値で割った商として定義されます。
勾配=（By-Ay）/（Bx-Ax）
直線（AB）に属する座標（x、y）の点Pはすべて同じ勾配でなければなりません。
勾配=（y-Ay）/（x-Ax）
勾配の等式から得られる方程式は、点Aと点Bを通る線の分析的または代数的表現です。
（y-Ay）/（x-Ax）=（By-Ay）/（Bx-Ax）
AとBを考えると、図2の直交座標は次のようになります。
（y-2）/（x-3）=（3-2）/（-2-3）
（y-2）/（x-3）=-⅕
この特定のケースでは、負の勾配-⅕のラインがあります。これは、ライン上のポイントに位置し、x座標を1ユニット増やすと、y座標が0.2ユニット減少することを意味します。
平面に線の方程式を書く最も一般的な方法は、変数xの関数としてy座標をクリアすることです。
y =-（1/5）x + 13/5
例
例1
C =（-2、-3）の直交座標とA =（3,2）の直交座標である、点CとAの間の距離を分析手法で取得します。
これらの2点間のユークリッド距離の式は次のように記述されます。
d（A、C）=√（（Cx-Ax）^ 2 +（Cy-Ay）^ 2）
対応する直角座標を代入すると、次のようになります。
d（A、C）=√（-2-3）^ 2 +（-3-2）^ 2）=√（-5）^ 2 +（-5）^ 2）=5√2= 7.07
例2
座標（-2、-3）の点Cと座標（2、0）の点Pを通る直線の方程式を取得します。
最初に、ラインCPの勾配が取得されます。
勾配=（0-（-3））/（2-（-2））=¾
線分CPに属する一般的な直交座標（x、y）の点Qは、同じ勾配を持つ必要があります。
傾き=（y-（-3））/（x-（-2））=（y +3）/（x +2）
つまり、線分CPの方程式は次のとおりです。
（y +3）/（x +2）=¾
行CPの方程式を書く別の方法は、yを解くことです。
y =¾x-3/2
解決された演習
演習1
線y =-（1/5）x + 13/5と線y =¾x-3/2の間の交点の直交座標を取得します。
解決策：定義により、2つの線の交点は同じ直交座標を共有します。したがって、交点のy座標は両方の線で同じです。
-（1/5）x + 13/5 =¾x-3/2
これは次の式になります：
（¾+⅕）x = 13/5 +3/2
得られる分数の合計を解く：
19/20 x = 41/10
xの解法：
x = 82/19 = 4.32
交差のy値を取得するには、取得したx値を任意の行に代入します。
y =¾4.32-3/2 = 1.74
これは、指定された線が座標I =（4.32、1.74）の点Iで交差することを意味します。
演習2
直交座標（3、4）の点Rを通り、座標の原点を中心とする円周の方程式を取得します。
解決策：半径Rは、点Rから座標（0、0）の原点Oまでの距離です。
d（R、O）=√（（Rx-0）^ 2 +（Ry-0）^ 2）=√（（3-0）^ 2 +（4-0）^ 2）=√（3 ^ 2 + 4 ^ 2）=√（9 + 16）=√（25）= 5
つまり、（0,0）を中心とする半径5の円です。
円周上の任意の点P（x、y）は、中心（0、0）から同じ距離5でなければならないので、次のように書くことができます。
d（P、O）=√（（x-0）^ 2 +（y-0）^ 2）=√（x ^ 2 + y ^ 2）= 5
つまり、
√（x ^ 2 + y ^ 2）= 5
平方根を削除するために、等式の両方のメンバーが二乗され、以下が得られます。
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
円周の方程式は何ですか。
この例は、紙、鉛筆、コンパスを使用せずに、円周などの幾何学的オブジェクトを決定できる直交座標系の能力を示しています。要求された円周は代数的方法によってのみ決定されました。
参考文献
- Arfken GおよびWeber H.（2012）。物理学者のための数学的な方法。包括的なガイド。第7版。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-384654-9
- 計算cc 直交座標の問題を解決しました。リカバリー元：calculo.cc
- Weisstein、Eric W.「デカルト座標」。MathWorld-A Wolfram Webから。回収元：mathworld.wolfram.com
- ウィキペディア。デカルト座標系。から回復：en.wikipedia.com