代数的誘導体は、代数関数の場合には誘導体の研究から成ります。派生物の概念の起源は古代ギリシャにさかのぼります。この概念の開発は、物理学と数学の2つの重要な問題を解決する必要性が動機となりました。
物理学では、微分は、移動するオブジェクトの瞬間的な速度を決定する問題を解決します。数学では、特定の点で曲線への接線を見つけることができます。
導関数とその一般化を使用することで解決できる問題はまだまだたくさんありますが、その概念の導入後に得られた結果です。
微分法の先駆者はニュートンとライプニッツです。正式な定義を行う前に、数学的および物理的な観点から、その背後にあるアイデアを発展させます。
曲線への接線の傾きとしての微分
関数y = f（x）のグラフが（ピーク、頂点、またはギャップのない）連続グラフであり、A =（a、f（a））がその上の固定点であるとします。点Aでの関数fのグラフに接する線の方程式を求めます。
グラフ上の他のポイントP =（x、f（x））をポイントAの近くに取り、AとPを通る割線を描画します。割線は、曲線のグラフを1つに切断する線です以上のポイント。
必要な接線を取得するには、直線上に点Aがあるため、勾配を計算するだけで済みます。
グラフに沿ってポイントPを移動し、ポイントAにどんどん近づくと、前述の割線は、見つけたい接線に近づきます。「PがAに向かう」ときの限界をとると、両方の線が一致するため、それらの傾きも同じになります。
割線の傾きは、
PがAに近づくと言うことは、「x」が「a」に近づくと言うことと同じです。したがって、点Aでのfのグラフに対する接線の傾きは次のようになります。
上記の式はf '（a）で表され、点aでの関数fの導関数として定義されます。したがって、分析的には、ある点での関数の導関数は限界ですが、幾何学的には、その点での関数のグラフに対する接線の傾きです。
次に、この概念を物理学の観点から見ていきます。以前の制限の同じ式に到達しますが、異なるパスを使用するため、定義の一致が得られます。
移動物体の瞬間速度としての微分
瞬間的な速度の意味の簡単な例を見てみましょう。たとえば、目的地に到着する車が時速100 kmの速度で到達したとすると、1時間で100 km移動したことになります。
これは必ずしも、1時間全体で車が常に100 kmであったことを意味しているわけではありません。車のスピードメーターは、ある時点で多少のマークを付けることができました。信号で止まる必要がある場合、その時の速度は0 kmでした。しかし、1時間後、旅は100 kmになりました。
これは平均速度と呼ばれるもので、先ほど見たように、移動距離と経過時間の商によって与えられます。一方、瞬間速度は、特定の瞬間（時間）に車の速度計の針を示す速度です。
これをより一般的に見てみましょう。オブジェクトが線に沿って移動し、この変位が方程式s = f（t）で表されるとします。ここで、変数tは時間を、変数sは変位を、瞬間t = 0、その時点でも0、つまりf（0）= 0。
この関数f（t）は位置関数と呼ばれます。
一定の瞬間 "a"における物体の瞬間的な速度の表現が求められます。この速度では、V（a）で表します。
tをインスタント "a"に近い任意のインスタントとします。「a」と「t」の間の時間間隔では、オブジェクトの位置の変化はf（t）-f（a）によって与えられます。
この時間間隔の平均速度は次のとおりです。
これは、瞬間速度V（a）の近似値です。この近似は、tが "a"に近づくにつれてより良くなります。したがって、
この式は前のケースで得られたものと同じですが、見方が異なります。これは、点「a」での関数fの導関数として知られているものであり、前述のようにf '（a）で表されます。
変更をh = xaにすると、「x」が「a」になりやすく、「h」が0になり、以前の制限が（同等に）変換されます。
両方の式は同等ですが、場合によっては、一方を他方の代わりに使用した方がよい場合もあります。
そのドメインに属する任意の点 "x"での関数fの導関数は、より一般的な方法で次のように定義されます。
関数y = f（x）の導関数を表す最も一般的な表記は、今見たもの（f 'またはy'）です。ただし、広く使用されているもう1つの表記法は、次の式のいずれかで表されるライプニッツの表記法です。
デリバティブは本質的に制限であるため、常に存在するとは限らないため、存在する場合と存在しない場合があります。存在する場合、問題の関数は特定の時点で微分可能であると言われます。
代数関数
代数関数は、加算、減算、積、商、累乗、およびラジカルによる多項式の組み合わせです。
多項式は次の形式の表現です
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0
ここで、nは自然数であり、すべてのa iはi = 0,1、…、nで有理数であり、n ≠0です。この場合、この多項式の次数はnと呼ばれます。
以下は代数関数の例です。
指数関数、対数関数、三角関数はここには含まれていません。次に説明する導出規則は、一般に関数に対して有効ですが、代数関数の場合は、自分自身を制限して適用します。
バイパスルール
定数の導関数
定数の導関数がゼロであることを示します。つまり、f（x）= cの場合、f '（x）= 0となります。たとえば、定数関数2の導関数は0です。
力の導関数
f（x）= x nの場合、f '（x）= nx n-1です。たとえば、x 3の導関数は3x 2です。この結果として、恒等関数f（x）= xの導関数はf '（x）= 1x 1-1 = x 0 = 1であることがわかります。
別の例は次のとおりです。f（x）= 1 / x 2とし、f（x）= x -2およびf '（x）=-2x -2-1 = -2x -3とします。
根は合理的な力であり、その場合にも上記を適用できるため、このプロパティも有効な根です。たとえば、平方根の導関数は
足し算と引き算の微分
fとgがxで微分可能な関数である場合、合計f + gも微分可能であり、（f + g） '（x）= f'（x）+ g '（x）であることが満たされます。
同様に、（fg） '（x）= f'（x）-g '（x）があります。言い換えると、和の微分（減算）は、微分の和（または減算）です。
例
h（x）= x 2 + x-1の場合
h '（x）=（x 2）+（x）'-（1） '= 2x + 1-0 = 2x + 1。
製品から派生
fとgがxで微分可能な関数である場合、積fgもxで微分可能であり、
（fg） '（x）= f'（x）g（x）+ f（x）g '（x）
結果として、cが定数で、fがxで微分可能な関数である場合、cfもxで微分可能であり、（cf） '（x）= cf'（X）となります。
例
f（x）= 3x（x 2 +1）の場合、
f '（x）=（3x）'（x 2 +1）+（3x）（x 2 +1） '= 3（x）'（x 2 +1）+ 3x
= 3（1）（x 2 +1）+ 3x = 3（x 2 +1）+ 3x（2x）= 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3。
商の導関数
fとgがxとg（x）≠0で微分可能である場合、f / gもxで微分可能であり、
例： h（x）= x 3 /（x 2 -5x）の場合、
h '（x）= /（x 5 -5x）2 = /（x 5 -5x）2。
連鎖法則
このルールにより、関数の構成を導出できます。次のように述べます：y = f（u）がuで微分可能であり、yu = g（x）がxで微分可能である場合、複合関数f（g（x））はxで微分可能であり、 '= f '（g（x））g'（x）。
つまり、複合関数の導関数は、外部関数の導関数（外部導関数）と内部関数の導関数（内部導関数）の積です。
例
f（x）=（x 4 -2x）3の場合、
f '（x）= 3（x 4 -2x）2（x 4 -2x）' = 3（x 4 -2x）2（4x 3 -2）
また、関数の逆の導関数の計算結果や、高次導関数への一般化の結果もあります。アプリケーションは広範囲です。中でも、最適化問題や最大関数と最小関数での有用性は際立っています。
参考文献
- Alarcon、S.、González、M.&Quintana、H.（2008）。微分微積分。ITM。
- カブレラ、VM（1997）。計算4000。編集プログレソ。
- カスタニョ、HF（2005）。計算前の数学。メデリン大学。
- エドゥアルド、NA（2003）。微積分入門。しきい値エディション。
- フエンテス、A（2016）。基本的な数学。微積分入門。Lulu.com。
- Purcell、EJ、Rigdon、SE、&Varberg、DE（2007）。計算。ピアソン教育。
- Saenz、J.（2005）。微分計算（第2版）。バルキシメート：斜辺。
- Thomas、GB、およびWeir、MD（2006）。計算：いくつかの変数。ピアソン教育。