連続的な誘導体は、二次微分後の一つの機能に由来するものです。連続する導関数を計算するプロセスは次のとおりです。関数fがあり、これを導出して導関数f 'を取得できます。このfの導関数を再度導出して、（f '）'を取得できます。
この新しい関数は2次導関数と呼ばれます。2番目から計算されたすべての導関数は連続です。これらは高次とも呼ばれ、関数のグラフのプロットに関する情報の提供、相対極値の2次導関数のテスト、無限級数の決定など、優れた用途があります。
定義
ライプニッツの表記法を使用すると、「x」に関する関数「y」の導関数はdy / dxです。ライプニッツの表記法を使用して「y」の2次導関数を表現するには、次のように記述します。
一般に、ライプニッツの表記法を使用して、次のように連続する導関数を表現できます。ここで、nは導関数の次数を表します。
使用されるその他の表記は次のとおりです。
異なる表記法を見ることができるいくつかの例は次のとおりです。
例1
以下によって定義される関数fのすべての導関数を取得します。
通常の導出手法を使用すると、fの導関数は次のようになります。
このプロセスを繰り返すことにより、2次導関数、3次導関数などを取得できます。
4次導関数はゼロであり、ゼロの導関数はゼロであるため、次のようになります。
例2
次の関数の4次導関数を計算します。
結果として与えられた関数を導き出します：
速度と加速
導関数の発見につながった動機の1つは、瞬間速度の定義の検索でした。正式な定義は次のとおりです。
y = f（t）を関数とすると、そのグラフは時間tでの粒子の軌跡を表し、時間tでの粒子の速度は次のようになります。
粒子の速度が取得されると、次のように定義される瞬間的な加速度を計算できます。
パスがy = f（t）で与えられる粒子の瞬間的な加速度は次のとおりです。
例1
粒子は位置関数に従って線に沿って移動します。
「y」はメートルで、「t」は秒で測定されます。
-速度0はどの瞬間ですか？
-加速度0はどの瞬間ですか？
位置関数«and»を導出するとき、その速度と加速度はそれぞれ次のように与えられます。
最初の質問に答えるには、関数vがいつゼロになるかを決定するだけで十分です。これは：
同様の方法で次の質問に進みます。
例2
粒子は、次の運動方程式に従って線に沿って移動します。
a = 0の場合、「t、y」、「v」を決定します。
速度と加速度は
導出と取得に進みます。
a = 0にすると、次のようになります。
ここから、aがゼロになるtの値はt = 1であると推定できます。
次に、t = 1での位置関数と速度関数を評価すると、次のようになります。
用途
明示的な導出
連続的な導関数は、暗黙の導関数によっても取得できます。
例
次の楕円を考えて、「y」を見つけます。
xに関して暗黙的に導出すると、次のようになります。
次に、xに関して暗黙的に再導出すると、次のようになります。
最後に、私たちは持っています：
相対的な極値
2次導関数に使用できるもう1つの用途は、関数の相対極値の計算です。
極値の一次導関数の基準は、区間（a、b）に連続関数fがあり、その区間に属するcがあり、fがcで消失する（つまり、そのcが重要なポイントです）、3つのケースのいずれかが発生する可能性があります。
-（a、c）に属するxに対してf´（x）> 0であり、（c、b）に属するxに対してf´（x）<0である場合、f（c）は局所最大値です。
-（a、c）に属するxについてf´（x）<0であり、（c、b）に属するxについてf´（x）> 0である場合、f（c）は極小値です。
-f´（x）が（a、c）と（c、b）で同じ符号を持っている場合、f（c）が局所極値ではないことを意味します。
二次導関数の基準を使用すると、関数の臨界数が極大か最小かを知ることができます。前述の区間で関数の符号が何であるかを確認する必要はありません。
2番目のドリフト基準は、f´（c）= 0であり、f´´（x）が（a、b）で連続である場合、f´´（c）> 0の場合、f（c）は極小値であり、f´´（c）<0の場合、f（c）は極大値です。
f´´（c）= 0の場合、何も結論付けられません。
例
関数f（x）が与え= X 4 +（4/3）× 3 4X - 2二次導関数の基準を用いて、Fの相対的最大値と最小値を見つけます。
まず、f´（x）とf´´（x）を計算します。
F'（X）= 4× 3 + 4× 2 - 8X
f´´（x）= 12x 2 + 8x-8
ここで、f´（x）= 0の場合、かつ4x（x + 2）（x-1）= 0の場合に限ります。これは、x = 0、x = 1またはx =-2の場合に発生します。
得られた臨界値が相対的な極値であるかどうかを判断するには、f´´で評価してその符号を観察するだけで十分です。
f´´（0）=-8なので、f（0）は極大値です。
f´´（1）= 12なので、f（1）は極小値です。
f´´（-2）= 24なので、f（-2）は極小値です。
テイラーシリーズ
fを次のように定義された関数とします。
この関数は収束半径R> 0を持ち、（-R、R）のすべての次数の導関数を持っています。fの逐次導関数は次のようになります。
x = 0を取ると、次のようにc nの値をそれらの導関数の関数として取得できます：
関数fとして= 0をとる場合（つまり、f ^ 0 = f）、関数を次のように書き換えることができます。
次に、関数をx = aでの一連の累乗と見なします。
前の分析と同様の分析を実行する場合、関数fを次のように書くことができます。
これらのシリーズは、fからaまでのテイラーシリーズとして知られています。a = 0の場合、Maclaurinシリーズと呼ばれる特定のケースがあります。これらのシリーズのおかげで、e x、sin（x）、cos（x）などの関数をコンピューターで定義できるため、このタイプのシリーズは特に数値分析において数学的に非常に重要です。
例
e xの Maclaurinシリーズを入手します。
f（x）= e xの場合、f （n）（x）= e xおよびf （n）（0）= 1なので、そのMaclaurinシリーズは次のようになります。
参考文献
- フランク・エアーズ、J。&メンデルソン、E。（nd）。計算5ed。Mc Graw Hill。
- Leithold、L.（1992）。分析ジオメトリを使用した計算。ハーラ、SA
- Purcell、EJ、Varberg、D.&Rigdon、SE（2007）。計算。メキシコ：ピアソン教育。
- Saenz、J.（2005）。微分微積分。斜辺。
- Saenz、J。（nd）。積分。斜辺。