立方体の違いは、a 3 -b 3の形式の二項代数表現です。ここで、aとbの項は、実数またはさまざまなタイプの代数表現です。立方体の差の例である：8 - X 3、8は2のように書くことができるので、3。
幾何学的に、図1に示すように、サイドaの大きな立方体から、サイドbの小さい立方体を差し引いたものと考えることができます。
図1.キューブの違い。出典：F. Zapata
結果の図の体積は、立方体の違いです。
V = a 3 -b 3
別の表現を見つけるために、この図を以下に示すように3つのプリズムに分解できることがわかります。
図2.立方体の差（等値の左）は、部分体積の合計（右）に等しい。出典：F. Zapata
プリズムには、幅x高さx奥行きの3つの次元の積で与えられる体積があります。このようにして、結果のボリュームは次のようになります。
V = a 3 -b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
因子bは右側に共通です。さらに、上記の図では、次のことが特に当てはまります。
b =（a / 2）⇒a = b + b
したがって、b = a-bと言えます。したがって：
キューブの違いを表現するこの方法は、多くのアプリケーションで非常に有用であることがわかり、コーナーの欠落しているキューブの側面がb = a / 2と異なっていても、同じ方法で得られます。
2番目の括弧は合計の2乗の注目すべき積によく似ていますが、クロス項は2倍されないことに注意してください。読者は右側を展開して、a 3 -b 3が実際に得られたことを確認できます。
例
キューブにはいくつかの違いがあります。
1-m 6
6 B 3 - 8Z 12と6
（1/125）は.X 6 - 27.y 9
それらのそれぞれを分析しましょう。最初の例では、1は1 = 1 3と書くことができ、項m 6は（m 2）3になります。どちらの用語も完全な立方体なので、違いは次のとおりです。
1-m 6 = 1 3-（m 2）3
2番目の例では、用語が書き換えられています。
a 6 b 3 =（a 2 b）3
8z 12 y 6 = 2 3（z 4）3（y 2）3 =（2z 4 y 2）3
これらのキューブの違いは、（a 2 b）3-（2z 4 y 2）3です。
最後に、画分（1/125）が（1/5 3）において、X 6 =（X 2）3、27 = 3 3、及びY 9 =（Y 3）3。これをすべて元の式に代入すると、次のようになります。
（1/125）は.X 6 - 27Y 9 = 3 - （3Y 3）3
キューブの違いを因数分解する
キューブの違いを因数分解すると、多くの代数演算が簡略化されます。これを行うには、上記で推定された式を使用します。
図3.キューブの差異の因数分解と注目すべき商の表現。出典：F. Zapata
この数式を適用する手順は、3つのステップで構成されています。
-最初に、差異の各項の立方根が取得されます。
-次に、式の右辺に現れる2項と3項が構築されます。
-最後に、2項式と3項式を置き換えて、最終的な因数分解を取得します。
上記で提案された各キューブ差分の例でこれらのステップの使用法を説明し、因数分解された同等のものを取得します。
例1
説明されている手順に従って、式1-m 6を因数分解します。まず、式を1-m 6 = 1 3-（m 2）3に書き換えて、各項のそれぞれの立方根を抽出します。
次に、2項と3項が構成されます。
a = 1
b = m 2
そう：
a-b = 1-m 2
（a 2 + ab + b 2）= 1 2 + 1.m 2 +（m 2）2 = 1 + m 2 + m 4
最後に、式a 3 -b 3 =（ab）（a 2 + ab + b 2）に代入されます。
1-m 6 =（1-m 2）（1 + m 2 + m 4）
例2
因数分解：
a 6 b 3 -8z 12 y 6 =（a 2 b）3-（2z 4 y 2）3
これらは完全な立方体なので、立方根はすぐに次のようになります：a 2 bおよび2z 4および2、したがって次のようになります。
-二項：a 2 b-2z 4および2
-三項：（a 2 b）2 + a 2 b 2z 4 y 2 +（a 2 b + 2z 4 y 2）2
そして今、望ましい因数分解が構築されます：
a 6 b 3 -8z 12 y 6 =（a 2 b-2z 4 y 2）。=
=（a 2 b-2z 4 y 2）。
原則として、因数分解の準備は整っていますが、多くの場合、各項を簡略化する必要があります。次に、最後に現れる注目すべき製品-合計の2乗-が開発され、同様の用語が追加されます。合計の2乗は次のとおりであることを思い出してください。
右側の注目すべき製品は、次のように開発されています。
（a 2 b + 2z 4および2）2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4および2 + 4z 8および4
キューブの差異の因数分解で得られた展開を代入します。
a 6 b 3 -8z 12 y 6 =（a 2 b-2z 4 y 2）。=
最後に、同じような用語をグループ化し、数値係数を因数分解します。これらはすべて偶数であり、次のようになります。
（a 2 b-2z 4 y 2）。= 2（a 2 b-2z 4 y 2）。
例3
ファクタリング（1/125）× 6 - 27Y 9は前の場合よりもはるかに簡単です。最初に、aとbの同等物が識別されます。
a =（1/5）x 2
b = 3年3
次に、式で直接置き換えられます。
（1/125）は.X 6 - 27Y 9 =。
運動が解決されました
キューブの違いには、前述したように、代数におけるさまざまなアプリケーションがあります。いくつか見てみましょう：
演習1
次の方程式を解きます。
A）× 5 - 125× 2 = 0
b）64-729 x 3 = 0
への解決策
最初に、方程式は次のように因数分解されます。
X 2（X 3 - 125）= 0
125は完全な立方体なので、括弧は立方体の違いとして記述されます。
x 2。（X 3 - 5 3）= 0
最初のソリューションは、x = 0であるが、私たちが作る場合、私たちは、xより見つける3 - 5 3 = 0、次のようになります。
x 3 = 5 3 →x = 5
ソリューションb
方程式の左辺は64-729 x 3 = 4 3-（9x）3に書き換えられます。したがって：
4 3-（9x）3 = 0
指数は同じなので：
9x = 4→x = 9/4
演習2
式を因数分解します。
（x + y）3-（x-y）3
解決
この式はキューブの違いですが、因数分解の公式で次のことに注意してください。
a = x + y
b = x- y
次に、二項式が最初に作成されます。
a-b = x + y-（x- y）= 2y
そして今三項式：
a 2 + ab + b 2 =（x + y）2 +（x + y）（xy）+（xy）2
注目の製品が開発されました：
次に、類似した用語に置き換えて削減する必要があります。
2 + AB + B 2 = X 2 + 2XY + Y 2 + X 2 - Y 2 + X 2 - 2XY + Y 2 = 3× 2 + Y 2
因数分解の結果：
（x + y）3-（x-y）3 = 2y。（3x 2 + y 2）
参考文献
- Baldor、A.1974。代数。編集文化ベネゾラナSA
- CK-12 Foundation。キューブの合計と差。リカバリー元：ck12.org。
- カーンアカデミー。キューブの違いの因数分解。復元：es.khanacademy.org。
- 数学は楽しい高度です。2つのキューブの違い。から回復：mathsisfun.com
- UNAM。キューブの違いを因数分解します。リカバリー元：dcb.fi-c.unam.mx。