-ベクトルによって実数αの乗算V α： V別のベクトルを与えるとに属するV。

ベクトル空間の芸術的ビジョン。出典：Pixabay

ベクトルを表すには太字（vはベクトル）を使用し、スカラーまたは数値にはギリシャ文字（αは数値）を使用します。

公理と性質

ベクトル空間を与えるには、次の8つの公理が成り立つ必要があります。

1可換性：u + v = v + u

2-Transitivity：（u + v）+ w = u +（ v + w）

ヌルベクターの3-存在0ように0 + V = V

反対の4-存在：の反対vがある（ - V）、以降V +（ - V）= 0

5ベクトルの和に関する積の分布性：α（ u + v ）= αu + αv

スカラー和に対する製品の6-分配性（α+β）V =α V +β V

スカラー積の7-関連性：α（β V）=（αβ）V

8-数値1は中立要素です。1v = v

ベクトル空間の例

例1

（R²）平面のベクトルは、ベクトル空間の例です。平面内のベクトルは、大きさと方向を持つ幾何学的オブジェクトです。それは、前記平面に属し、その大きさに比例するサイズを持つ方向付けられたセグメントによって表されます。

平面内の2つのベクトルの合計は、最初のベクトルの後の2番目のベクトルの幾何変換操作として定義できます。合計の結果は、最初の原点から始まり、2番目の先端に到達する方向のあるセグメントです。

図では、R²の合計が可換であることがわかります。

図2.平面内のベクトルはベクトル空間を形成します。出典：自作。

数αとベクトルの積も定義されます。数値が正の場合、元のベクトルの方向が維持され、サイズは元のベクトルのα倍になります。数値が負の場合、方向は逆になり、結果のベクトルのサイズは数値の絶対値になります。

任意のベクトルvの反対側のベクトルは-v =（-1） vです。

ヌルベクトルはR²平面内の点であり、ベクトルの0倍の数がヌルベクトルを与えます。

以上のことをすべて図2に示します。

例2

ゼロ次を含む、2次以下のすべての多項式のセットPは、ベクトル空間のすべての公理を満たすセットを形成します。

多項式P（x）= ax²+ bx + cy Q（x）= dx²+ ex + fとします

2つの多項式の合計が定義されています：P（x）+ Q（x）=（a + d）x²+（b + e）x +（c + f）

セットPに属する多項式の合計は可換で推移的です。

セットPに属するnull多項式は、すべての係数がゼロに等しいものです。

0（x）= 0x²+ 0 x + 0

多項式によるスカラーαの合計は、次のように定義されます。αP（x）=α∙ax²+α∙bx +α∙c

P（x）の反対の多項式は-P（x）=（-1）P（x）です。

上記のすべてから、2以下の次数のすべての多項式の集合Pはベクトル空間であることがわかります。

例3

要素の実数であるm行xn列のすべての行列の集合Mは、行列の加算および行列による数値の積の演算に関して、実数ベクトル空間を形成します。

実施例4

実変数の連続関数のセットFは、ベクトル空間を形成します。これは、2つの関数の和、関数によるスカラーの乗算、ヌル関数および対称関数を定義することができるためです。また、ベクトル空間を特徴付ける公理も満たします。

ベクトル空間の基底と次元

ベース

ベクトル空間のベースは、それらの線形結合からそのベクトル空間の任意のベクトルを生成できるように、線形に独立したベクトルのセットとして定義されます。

2つ以上のベクトルを線形結合することは、ベクトルにスカラーを掛けて、ベクトル的に加算することから成ります。

たとえば、R³によって形成される3次元のベクトルのベクトル空間では、（大きさ1の）単位ベクトルi、j、kによって定義される正準基底が使用されます。

ここで、i =（1、0、0）; j =（0、1、0）; k =（0、0、1）。これらは、デカルトまたは正準ベクトルです。

R³に属するベクトルVは、V = a i + b j + c kとして記述されます。これは、基底ベクトルi、j、kの線形結合です。スカラーまたは数値a、b、cはVのデカルト成分として知られています。

また、ベクトル空間の基底ベクトルは、ベクトル空間のジェネレーターセットを形成すると言われています。

寸法

ベクトル空間の次元は、その空間のベクトル基底の基数です。つまり、そのベースを構成するベクトルの数です。

この基数は、そのベクトル空間の線形独立ベクトルの最大数であり、同時にその空間のジェネレーターセットを形成するベクトルの最小数です。

ベクトル空間の基底は一意ではありませんが、同じベクトル空間のすべての基底は同じ次元を持っています。

ベクトル部分空間

ベクトル空間Vのベクトル部分空間SはVのサブセットであり、Vと同じ演算が定義され、すべてのベクトル空間公理を満たします。したがって、部分空間Sもベクトル空間になります。

ベクトル部分空間の例は、XY平面に属するベクトルです。この部分空間は、3次元空間XYZに属するベクトルのセットより大きい次元のベクトル空間のサブセットです。

実数要素を持つすべての2×2行列によって形成されるベクトル空間Sのベクトル部分空間S1の別の例を以下に定義します。

一方、以下で定義されているS2は、Sのサブセットですが、ベクトル部分空間を形成しません。

解決された演習

-演習1

ベクトルV1 =（1、1、0）; R2ではV2 =（0、2、1）およびV3 =（0、0、3）。

a）それらが線形独立であることを示します。

b）トリプル（x、y、z）はV1、V2、V3の線形結合として記述できるため、R theyの基底を形成することを示します。

c）ベースV1、V2、V3でトリプルV =（-3,5,4）のコンポーネントを見つけます。

解決

線形独立性を実証する基準は、α、β、γに次の一連の方程式を確立することです。

α（1、1、0）+β（0、2、1）+γ（0、0、3）=（0、0、0）

このシステムの唯一の解がα=β=γ= 0の場合、ベクトルは線形独立ですが、そうでない場合はそうではありません。

α、β、γの値を取得するために、以下の方程式系を提案します：

α∙1 +β∙0 +γ∙0 = 0

α∙1 +β∙2 +γ∙0 = 0

α∙0 +β∙1 +γ∙3 = 0

最初はα= 0、2番目はα= -2∙βになりますが、α= 0なのでβ= 0になります。3番目の式は、γ=（-1/3）βであることを意味しますが、β= 0なので、γ= 0です。

に答えます

これは、R³の線形独立ベクトルのセットであると結論付けられます。

回答b

次に、トリプル（x、y、z）をV1、V2、V3の線形結合として記述します。

（x、y、z）=αV1 +βV2 +γV3 =α（1、1、0）+β（0、2、1）+γ（0、0、3）

α∙1 +β∙0 +γ∙0 = x

α∙1 +β∙2 +γ∙0 = y

α∙0 +β∙1 +γ∙3 = z

あなたはどこにいますか：

α= x

α+ 2β= y

β+ 3γ= z

1つ目はα= x、2つ目はβ=（yx）/ 2、3つ目はγ=（z- y / 2 + x / 2）/ 3を示します。このようにして、R³の任意のトリプレットのα、β、γの生成元を見つけました。

回答c

次に、ベースV1、V2、V3のトリプルV =（-3,5,4）のコンポーネントを見つけてみましょう。

上記で見つかった式の対応する値をジェネレーターに置き換えます。

この場合、次のようになります。α= -3; β=（5-（-3））/ 2 = 4; γ=（4- 5/2 +（-3）/ 2）/ 3 = 0

あれは：

（-3,5,4）= -3（1、1、0）+ 4（0、2、1）+ 0（0、0、3）

最後に：

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

V1、V2、V3が次元3のベクトル空間R³の基底を形成すると結論付けます。

-演習2

多項式P（t）=t²+ 4t -3を、P1（t）=t²-2t + 5、P2（t）=2t²-3tおよびP3（t）= t + 3の線形結合として表現します。

解決

P（t）= x P1（t）+ y P2（t）+ z P3（t）

ここで、数値x、y、zを決定します。

tで同じ次数の項を乗算およ​​びグループ化することにより、次の結果が得られます。

t²+ 4 t -3 =（x + 2y）t²+（-2x -3y + z）t +（5x + 3z）

これにより、次の方程式系が得られます。

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

この連立方程式の解は次のとおりです。

x = -3、y = 2、z = 4。

あれは：

P（t）= -3 P1（t）+ 2 P2（t）+ 4 P3（t）

-演習3

ベクトルv1 =（1、0、-1、2）; R⁴のv2 =（1、1、0、1）とv3 =（2、1、-1、1）は線形独立です。

解決

3つのベクトルv1、v2、v3を線形結合し、その結合がR⁴のnull要素を追加することを要求します

a v1 + b v2 + c v3 = 0

つまり、

a（1、0、-1、2）+ b（1、1、0、1）+ c（2、1、-1、1）=（0、0、0、0）

これにより、次の方程式系が得られます。

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a-c = 0

2 a + b + c = 0

最初と4番目を差し引くと、-a + c = 0となり、a = cになります。

しかし、3番目の方程式を見ると、a = -cです。a = c =（-c）が成り立つ唯一の方法は、cを0にすることです。したがって、aも0になります。

a = c = 0

この結果を最初の方程式に代入すると、b = 0と結論付けられます。

最後に、a = b = c = 0なので、ベクトルv1、v2、v3は線形独立であると結論付けることができます。

参考文献

1. Lipschutz、S。1993。線形代数。第二版。マグローヒル。167-198。