因数分解は多項式は数字や文字、またはその両方であってもよい乗算係数として発現させる方法です。因数分解するために、項に共通する因数は一緒にグループ化され、このようにして、多項式はいくつかの多項式に分解されます。
したがって、係数を掛け合わせると、結果は元の多項式になります。因数分解は、数式を使用する場合に非常に便利な方法です。これは、いくつかの単純な項の乗算に変換できるためです。例：2a 2 + 2ab = 2a *（a + b）。
多項式は、その項の間に共通因子がないために因数分解できない場合があります。したがって、これらの代数式は、それ自体と1のみで割り切れる。例：x + y + z。
代数式では、共通因子はそれを構成する項の最大公約数です。
因数分解法
いくつかのファクタリング方法があり、ケースに応じて適用されます。これらの一部は次のとおりです。
共通因子による因数分解
この方法では、共通する要因が特定されます。つまり、表現に関して繰り返されるものです。次に、分布特性が適用され、最大公約数が取られ、因数分解が完了します。
言い換えると、表現の共通要素が識別され、各用語がそれによって分割されます。結果の項は、因数分解を表すために最大公約数で乗算されます。
例1
係数（b 2 x）+（b 2 y）。
解決
最初に、各項の共通因子（この場合はb 2）を見つけ、次に、次のように項を共通因子で除算します。
（b 2 x）/ b 2 = x
（b 2 y）/ b 2 = y。
因数分解は、共通因子に結果の項を掛けて表現されます。
（b 2 x）+（b 2 y）= b 2（x + y）。
例2
係数（2a 2 b 3）+（3ab 2）。
解決
この場合、「a」と「b」という2つの要素が各用語で繰り返され、累乗されます。それらを因数分解するために、2つの用語は最初に長い形式に分解されます。
2 * a * a * b * b * b + 3a * b * b
因子 "a"は第2項で1回だけ繰り返され、因子 "b"はこれで2回繰り返されることがわかります。したがって、最初の用語では2つだけ残ります。係数 "a"と係数 "b"です。一方、第2期には3つしか残っていません。
したがって、図に示すように、「a」と「b」が繰り返される時間が書き込まれ、各項から残っている係数が乗算されます。
グループ化因数分解
すべてのケースで多項式の最大公約数が明確に表現されているわけではないため、多項式を書き換えて因数分解できるようにするには、他の手順を実行する必要があります。
これらのステップの1つは、多項式の項をいくつかのグループにグループ化してから、共通因子法を使用することです。
例1
係数ac + bc + ad + bd。
解決
2つの要素が共通する4つの要素があります。最初の用語では«c»、2番目の用語では«d»です。このようにして、2つの用語はグループ化され、分離されます。
（ac + bc）+（ad + bd）。
次のように、共通因子法を適用して、各項をその共通因子で除算し、その共通因子に結果の項を乗算することができます。
（ac + bc）/ c = a + b
（ad + bd）/ d = a + b
c（a + b）+ d（a + b）。
これで、両方の項に共通する二項式が得られました。それを因数分解するために、残りの因数を掛けます。そのようにあなたはしなければなりません：
ac + bc + ad + bd = （c + d）*（a + b）。
検査因数分解
この方法は、三項式とも呼ばれる二次多項式を因数分解するために使用されます。つまり、ax 2 ±bx + c として構成され、「a」の値が1とは異なるものです。この方法は、3項式がx 2 ±bx + cの形式で「a」の値を持つ場合にも使用されます。= 1。
例1
係数x 2 + 5x + 6。
解決
x 2 ±bx + cの形式の2次3項式があります。これを因数分解するには、最初に2つの数値を見つけ、乗算すると結果として«c»（つまり6）の値が得られ、その合計が係数«b»の5と等しいことを確認する必要があります。これらの数値は2と3です。 ：
2 * 3 = 6
2 + 3 = 5。
このようにして、式は次のように簡略化されます。
（x 2 + 2x）+（3x + 6）
各項は因数分解されます：
-（x 2 + 2x）の場合、一般的な用語が使用されます：x（x + 2）
-（3x + 6）= 3（x + 2）の場合
したがって、式は次のとおりです。
x（x +2）+ 3（x +2）。
私たちは共通の二項式を持っているので、式を減らすために、これに残りの項を掛けて、次のようにする必要があります。
x 2 + 5x + 6 =（x + 2）*（x + 3）。
例2
係数4a 2 + 12a + 9 = 0。
解決
ax 2 ±bx + cyの形式の2次3項式を因数分解して、式全体にx 2の係数を掛けます。この場合、4。
4a 2 + 12a +9 = 0
4a 2（4）+ 12a（4）+ 9（4）= 0（4）
16 a 2 + 12a（4）+ 36 = 0
4 2 a 2 + 12a（4）+ 36 = 0
ここで、2つの数値を見つけて、互いに乗算すると、結果として「c」の値（36）を与え、加算すると、結果として「a」の係数（6）を与えます。
6 * 6 = 36
6 + 6 = 12。
このようにして、4 2 a 2 = 4a * 4a であることを考慮して、式が書き換えられます。したがって、分配特性は各用語に適用されます。
（4a + 6）*（4a + 6）。
最後に、式はa 2の係数で除算されます。つまり、4：
（4 + 6）*（4 + 6）/ 4 =（（4 + 6）/ 2）*（（4 + 6）/ 2）。
式は次のとおりです。
4a 2 + 12a +9 =（2a +3）*（2a + 3）。
注目すべき製品での因数分解
上記の方法で多項式を完全に因数分解すると、非常に長いプロセスになる場合があります。
そのため、注目すべき製品の数式を使って式を作成でき、プロセスが簡単になります。最も広く使用されている注目すべき製品は次のとおりです。
-2つの正方形の差：（a 2 -b 2）=（a-b）*（a + b）
-合計の完全な二乗：a 2 + 2ab + b 2 =（a + b）2
-差のパーフェクト角：2 - 2AB + B 2 =（ - b）の2
-2つのキューブの差：a 3 -b 3 =（ab）*（a 2 + ab + b 2）
-2つのキューブの合計：a 3 -b 3 =（a + b）*（a 2 -ab + b 2）
例1
係数（5 2 -x 2）
解決
この場合、2つの正方形の違いがあります。したがって、注目すべき製品公式が適用されます。
（a 2 -b 2）=（a-b）*（a + b）
（5 2 -x 2）=（5-x）*（5 + x）
例2
係数16x 2 + 40x + 25 2
解決
この場合、2つの項の2乗を識別できるため、合計の完全な2乗が得られます。残りの項は、2を最初の項の平方根で乗算し、2番目の項の平方根で乗算した結果です。
a 2 + 2ab + b 2 =（a + b）2
第1項と第3項の平方根のみを因数分解するには、次のように計算します。
√（16x 2）= 4x
√（25 2）= 5。
次に、結果の2つの項が演算の符号で区切られて表現され、多項式全体が二乗されます。
16x 2 + 40x + 25 2 =（4x + 5）2。
例3
ファクター27a 3 -b 3
解決
式は、2つの因子が3乗される減算を表します。それらを因数分解するために、立方体の差の注目すべき積の式が適用されます。
a 3 -b 3 =（ab）*（a 2 + ab + b 2）
したがって、因数分解するために、二項式の各項の立方根が取られ、最初の項の2乗、1番目の項の2番目の項の積、2番目の項の2乗が乗算されます。
27a 3 -b 3
³√（27a 3）= 3a
³√（-b 3）= -b
27a 3 -b 3 =（3a-b）*
27a 3 -b 3 =（3a-b）*（9a 2 + 3ab + b 2）
ルフィニの法則による因数分解
この方法は、次数の低い多項式に式を簡略化するために、2次より大きい多項式がある場合に使用されます。
例1
係数Q（X）= X 4 - 9X 2 + 4X + 12
解決
まず、独立項である12の約数である数値を探します。これらは、±1、±2、±3、±4、±6、および±12です。
次に、xがこれらの値で置き換えられます（最小値から最大値へ）。したがって、どの値で除算が正確になるかが決定されます。つまり、残りは0でなければなりません。
x = -1
Q（-1）=（-1）4 -図9（-1）2 + 4（-1）+ 12 = 0。
x = 1
Q（1）= 1 4 -図9（1）2 + 4（1）+ 12 = 8≠0。
x = 2
Q（2）= 2 4 -図9（2）2 + 4（2）+ 12 = 0。
各除数についても同様です。この場合、見つかった係数はx = -1およびx = 2に対するものです。
ここで、Ruffiniメソッドが適用されます。これに従って、式の係数は、除算が正確になるように、見つかった係数で除算されます。多項式の項は、最高から最低の指数に並べられます。次の次数を持つ項がシーケンスで欠落している場合、0がその場所に配置されます。
次の図に示すように、係数はスキーム内にあります。
最初の係数が下げられ、除数が乗算されます。この場合、最初の除数は-1であり、結果は次の列に配置されます。次に、得られたその結果の係数の値が縦に加算され、結果が下に配置されます。このようにして、最後の列までこのプロセスが繰り返されます。
その後、同じ手順が再度繰り返されますが、式を簡略化できるため、2番目の除数（2）を使用します。
したがって、得られた各根について、多項式は項（x-a）を持ちます。ここで、「a」は根の値です。
（x-（-1））*（x-2）=（x + 1）*（x-2）
一方、これらの項には、ルフィニの残りの規則1を掛ける必要があります。1と-6は、次数を表す要素です。このようにして形成される式は、（x 2 + x-6）です。
ルフィニ法による多項式の因数分解の結果の取得は、次のとおりです。
X 4 - 9X 2 + 4X + 12 =（X + 1）*（X - 2）*（X 2 + X - 6）
最後に、前の式に現れる次数2の多項式は、（x + 3）（x-2）と書き直すことができます。したがって、最終的な因数分解は次のとおりです。
X 4 - 9X 2 + 4X + 12 =（X + 1）*（X - 2）*（X + 3）*（X-2）。
参考文献
- アーサー・グッドマン、LH（1996）。解析幾何学による代数と三角法。ピアソン教育。
- J、V（2014）。多項式の因数分解について子供に教える方法。
- マヌエルモリロ、AS（sf）。アプリケーションの基本的な数学。
- Roelse、PL（1997）。有限体上の多項式因数分解の線形法：理論と実装。エッセン大学。
- シャープ、D。（1987）。リングと因数分解。