部分的な画分を分母は、直鎖又は二次の多項式であることができ、また乗可能な多項式によって形成された画分です。有理関数がある場合、この関数を部分分数または単純分数の合計として書き直すと非常に便利なことがあります。
これは、特にこのアプリケーションを統合する必要がある場合に、これらの機能をより適切に操作できるためです。有理関数は単に2つの多項式の間の商であり、それらは適切または不適切である可能性があります。
分子の多項式の次数が分母より小さい場合、それは有理固有関数と呼ばれます。そうでなければ、それは不適切な有理関数として知られています。
定義
不適切な有理関数がある場合、分子の多項式を分母の多項式で除算し、分数アルゴリズムをt（x）+ s（x）/として次のように分数p（x）/ q（x）を書き換えます。 q（x）、ここでt（x）は多項式であり、s（x）/ q（x）は適切な有理関数です。
部分分数は、多項式ax 2 + bx + cに実根がなく、nが数値である場合、分母が（ax + b）nまたは（ax 2 + bx + c）nの形式である多項式の適切な関数です。ナチュラル。
有理関数を部分分数で書き換えるために、最初に行うべきことは、分母q（x）を線形および/または二次因子の積として因数分解することです。これが完了すると、これらの要因の性質に依存する部分比率が決定されます。
ケース
いくつかのケースを個別に検討します。
事例1
q（x）の因子はすべて線形であり、繰り返されるものはありません。つまり、
q（x）=（a 1 x + b 1）（a 2 x + b 2）…（a s x + b s）
他と同一の線形係数はありません。この場合、次のように書きます。
p（x）/ q（x）= A 1 /（a 1 x + b 1）+ A 2 /（a 2 x + b 2）…+ A s /（a s x + b s）。
ここで、A 1、A 2、…、A sは、検索される定数です。
例
有理関数を単純な分数に分解したいと思います。
（x-1）/（x 3 + 3x 2 + 2x）
分母を因数分解します。つまり、
x 3 + 3x 2 + 2x = x（x + 1）（x + 2）
次に：
（x-1）/（x 3 + 3x 2 + 2x）=（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）
（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）= A / x + B /（x + 1）+ C /（x + 2）
最小公倍数を適用すると、次のことが得られます。
x-1 = A（x + 1）（x + 2）+ B（x + 2）x + C（x + 1）x。
定数A、B、Cの値を取得します。これは、各項をキャンセルする根を代入することによって見つけることができます。私たちが持っているxを0に置き換えます：
0-1 = A（0 + 1）（0 + 2）+ B（0 + 2）0 + C（0 + 1）0。
-1 = 2A
A =-1/2。
代用-私たちが持っているxの1：
-1-1 = A（-1 + 1）（-1 + 2）+ B（-1 + 2）（-1）+ C（-1 + 1）（-1）。
-2 =-B
B = 2。
代入-xに2があり、
-2-1 = A（-2 + 1）（-2 + 2）+ B（-2 + 2）（-2）+ C（-2 + 1）（-2）。
–3 = 2C
C = –3/2。
このようにして、値A = –1 / 2、B = 2およびC = –3/2が取得されます。
A、B、Cの値を取得する別の方法があります。方程式の右辺の場合x-1 = A（x + 1）（x + 2）+ B（x + 2）x + C（x + 1）x私たちは条件を組み合わせます：
x-1 =（A + B + C）x 2 +（3A + 2B + C）x + 2A。
これは多項式の等式であるため、左側の係数は右側の係数と等しくなければなりません。これにより、次の方程式系が得られます。
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A =-1
この連立方程式を解くと、A = –1 / 2、B = 2、C = -3/2という結果が得られます。
最後に、得られた値を代入すると、次のようになります。
（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）=-1 /（2x）+ 2 /（x + 1）-3 /（2（x + 2））。
事例2
q（x）の因子はすべて線形であり、いくつかは繰り返されます。（ax + b）が "s"回繰り返す要素であると仮定します。次に、この係数に«s»の部分割合の合計が対応します。
A s /（ax + b）s + A s-1 /（ax + b）s-1 +…+ A 1 /（ax + b）。
ここで、A s、A s-1、…、A 1は、決定される定数です。次の例では、これらの定数を決定する方法を示します。
例
部分フラクションに分解します：
（x-1）/（x 2（x-2）3）
次のように、有理関数を部分分数の合計として記述します。
（x-1）/（x 2（x-2）3）= A / x 2 + B / x + C /（x-2）3 + D /（x-2）2 + E /（x-2 ）。
次に：
x-1 = A（x-2）3 + B（x-2）3 x + Cx 2 + D（x-2）x 2 + E（x-2）2 x 2
xに2を代入すると、次のようになります。
7 = 4C、つまりC = 7/4。
私たちが持っているxを0に置き換えます：
-1 = –8AまたはA = 1/8。
前の方程式でこれらの値を代入して展開すると、次のようになります。
X - 1 = 1/8（X 3 - 6× 2 + 12X - 8）+ Bxを（X 3 - 6× 2 + 12X - 8）+ 7/4× 2 + Dxを3 - 2Dx 2 +実施例2（X 2 - 4X + 4）
x-1 =（B + E）x 4 +（1/8-6B + D-4E）x 3 +（-¾+ 12B + 7/4-2D + 4E）x 2 +（3/2-8B） x-1。
係数を等分すると、次の連立方程式が得られます。
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
-3/4 + 12B + 7/4-2D + 4E = 0
3/2-8B = 0。
システムを解決すると、次のようになります。
B = 3/16; D = 5/4; E =-3/16。
そのためには、次のことを行う必要があります。
（x-1）/（x 2（x-2）3）=（1/8）/ x 2 +（3/16）/ x +（7/4）/（x-2）3 +（5 / 4）/（x-2）2-（3/16）/（x-2）。
事例3
q（x）の因子は線形二次であり、二次因子は繰り返されません。この場合、二次係数（ax 2 + bx + c）は部分分数（Ax + B）/（ax 2 + bx + c）に対応します。定数AとBは決定される定数です。
次の例は、この場合の進め方を示しています
例
単純な分数a（x + 1）/（x 3-1）に分解します。
まず、分母を因数分解します。これにより結果が得られます。
（x-1）=（x-1）（x + x +1）。
（x 2 + x + 1）は既約二次多項式であることがわかります。つまり、本当のルーツはありません。その分数への分解は次のようになります：
（x + 1）/（x-1）（x 2 + x +1）= A /（x-1）+（Bx + C）/（x 2 + x +1）
これから、次の方程式が得られます。
x + 1 =（A + B）x 2 +（A-B + C）x +（A-C）
多項式の等式を使用すると、次のシステムが得られます。
A + B = 0;
A-B + C = 1;
A-C = 1;
このシステムから、A = 2/3、B =-2/3、C = 1/3になります。代入すると、次のようになります。
（x + 1）/（x-1）（x 2 + x +1）= 2/3（x-1）-（2x + 1）/ 3（x 2 + x +1）。
事例4
最後に、ケース4はq（x）の因子が線形および2次であり、線形2次因子のいくつかが繰り返される場合です。
この場合、（ax 2 + bx + c）が "s"回繰り返される2次因子である場合、因子（ax 2 + bx + c）に対応する部分的な割合は次のようになります。
（A 1 x + B）/（ax 2 + bx + c）+…+（A s-1 x + B s-1）/（ax 2 + bx + c）s-1 +（A s x + B s）/（ax 2 + bx + c）s
ここで、A s、A s-1、…、AおよびB s、B s-1、…、Bは、決定される定数です。
例
次の有理関数を分数に分解したいとします。
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）
X以来2 - 4X + 5が既約二次要因である、我々は部分分数にその分解は次式で与えられていることがあります。
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）= A / X +（Bxを+ C）/（X 2 - 4X +5）+（Dxを+ E）/（X 2 - 4X + 5）2
シンプル化と開発により、次のことが実現しました。
X - 2 = A（X 2 - 4X + 5）2 +（Bxを+ C）（X 2 - 4X + 5）X +（Dxの+ E）X
x-2 =（A + B）x 4 +（-8A-4B + C）x 3 +（26A + 5B-4C + D）x 2 +（-40A + 5C + E）x + 25A。
上記から、次の方程式系が得られます。
A + B = 0;
-8A-4B + C = 0;
26A + 5B-4C + D = 0;
-40A + 5C + E = 1;
25A = 2。
システムを解くとき、私たちは次のものを残されます：
A =-2/25、B = 2/25、C =-8/25、D = 2/5、E =-3/5。
得られた値を代入することにより、
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）= -2 / 25X +（2× - 8）/ 25（X 2 - 4X +5）+（2× - 3）/ 5（X 2 -4x + 5）2
用途
積分
部分分数は、主に積分の研究に使用されます。以下は、分数を使用して積分を実行する方法の例です。
例1
次の積分を計算します。
分母q（x）=（t + 2）2（t + 1）は、これらの1つが繰り返される線形因子で構成されていることがわかります。これが、ケース2にある理由です。
するべき：
1 /（t + 2）2（t + 1）= A /（t + 2）2 + B /（t + 2）+ C /（t + 1）
方程式を書き換えると、次のようになります。
1 = A（t + 1）+ B（t + 2）（t + 1）+ C（t + 2）2
t =-1の場合：
1 = A（0）+ B（1）（0）+ C（1）
1 = C
t =-2の場合、次のようになります。
1 = A（-1）+ B（0）（-1）+ C（0）
A =-1
次に、t = 0の場合：
1 = A（1）+ B（2）（1）+ C（2）
AとCの値を置き換える：
1 =-1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B =-2
上記から、B =-1であることがわかります。
積分を次のように書き換えます。
置換法で解決します。
これが結果です：
例2
次の積分を解く：
この場合、我々はでき因子水溶液（X）= X 2 - Q（X）として4 =（X - 2）（X + 2）。私たちは明らかにケース1にいます。したがって、次のようになります。
（5x-2）/（x-2）（x + 2）= A /（x-2）+ B /（x + 2）
次のように表すこともできます。
5x-2 = A（x + 2）+ B（x-2）
x =-2の場合：
-12 = A（0）+ B（-4）
B = 3
x = 2の場合：
8 = A（4）+ B（0）
A = 2
したがって、与えられた積分を解くことは私たちに任されています。
これは結果として私たちに与えます：
例3
積分を解く：
q（x）= 9x 4 + x 2があり、q（x）= x 2（9x 2 + 1）に因数分解できます。
今回は、線形因子と二次因子が繰り返されています。つまり、ケース3です。
するべき：
1 / x 2（9x 2 + 1）= A / x 2 + B / x +（Cx + D）/（9x 2 + 1）
1 = A（9x 2 + 1）+ Bx（9x 2 + 1）+ Cx 2 + Dx 2
等しい多項式をグループ化して使用すると、次のようになります。
1 =（9B + C）x +（9A + D）x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
この方程式系から、次のようになります。
D =-9およびC = 0
このようにして、次のものが得られます。
上記を解決することにより、次のようになります。
集団行動の法則
積分に適用される部分フラクションの興味深いアプリケーションは、化学、より正確には質量作用の法則にあります。
一緒に結合してサブスタンスCを形成する2つの物質AとBがあるとします。これにより、時間に対するCの量の導関数は、任意の時間におけるAとBの量の積に比例します。
集団行動の法則は次のように表すことができます。
この式では、αはAに対応する初期グラム数であり、βはBに対応する初期グラム数です。
さらに、rとsは、それぞれ結合してCのr + sグラムを形成するAとBのグラム数を表します。その一部として、xは時間tにおける物質Cのグラム数を表し、Kは比例定数。上記の方程式は、次のように書き直すことができます。
次の変更を行います。
方程式は次のようになります。
この式から、次の情報を取得できます。
ここで、a≠bの場合、部分分数を積分に使用できます。
例
たとえば、物質AをBと組み合わせることから生じる物質Cを考えてみましょう。この場合、aとbの値がそれぞれ8と6である質量法則が満たされます。時間の関数としてのCのグラムの値を与える方程式を与えます。
与えられた質量則の値を代入すると、次のようになります。
変数を分離するとき：
ここで1 /（8-x）（6-x）は、次のように、部分分数の合計として記述できます。
したがって、1 = A（6-x）+ B（8-x）
xに6を代入すると、B = 1/2になります。xに8を代入すると、A =-1/2になります。
我々が持っている部分的な分数で統合する：
これは結果として私たちに与えます：
微分方程式：ロジスティック方程式
部分分数に与えることができる別のアプリケーションは、ロジスティック微分方程式です。単純なモデルでは、人口の成長率はそのサイズに比例します。つまり、
このケースは理想的であり、システムで使用可能なリソースが人口をサポートするのに不十分であることが発生するまで、現実的であると見なされます。
これらの状況では、最も合理的なことは、システムが維持できる最大容量（Lと呼びます）があり、成長率が人口のサイズに利用可能なサイズを掛けたものに比例することを考えることです。この引数により、次の微分方程式が導かれます。
この式はロジスティック微分方程式と呼ばれます。これは、分数積分法で解くことができる分離可能な微分方程式です。
例
例として、初期データが400である次のロジスティック微分方程式y '= 0.0004y（1000-y）に従って増加する母集団を検討します。時間t = 2での母集団のサイズを知りたい場合、tは測定されます年間で。
ライプニッツの表記をtに依存する関数としてyと書くと、次のようになります。
左側の積分は、部分分数積分法を使用して解くことができます：
この最後の等式を次のように書き換えることができます。
-y = 0を代入すると、Aは1/1000になります。
-y = 1000を代入すると、Bは1/1000になります。
これらの値を使用すると、積分は次のようになります：
解決策は次のとおりです。
初期データを使用：
クリアすると、次のようになります。
次に、t = 2にそれがあります。
結論として、2年後の人口サイズは約597.37です。
参考文献
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