初等超越関数は三角関数、双曲線逆双曲線関数、逆指数関数、対数関数、三角関数、です。つまり、多項式、多項式の商、または多項式の根では表現できないものです。
非初等超越関数は特殊関数とも呼ばれ、その中でエラー関数に名前を付けることができます。代数関数（多項式、多項式の商、多項式の根）は、初等超越関数とともに、数学では初等関数と呼ばれます。
超越関数は、超越関数間または超越関数と代数関数間の演算から生じる関数とも見なされます。これらの演算は、関数の合計と差、関数の積と商、および2つ以上の関数の合成です。
定義とプロパティ
指数関数
これは、次の形式の実際の独立変数の実際の関数です。
f（x）= a ^ x = a x
ここで、aは底と呼ばれる固定の正の実数（a> 0）です。サーカムフレックスまたは上付き文字は、強化作用を示すために使用されます。
a = 2とすると、関数は次のようになります。
f（x）= 2 ^ x = 2 x
独立変数xのいくつかの値について評価されます：
以下は、底eを含む底のいくつかの値に対して指数関数が表されているグラフです（負数e≃2.72）。基数eは非常に重要であるため、一般的に指数関数について言えば、exp（x）とも呼ばれるe ^ xについて考えます。
図1.ベースaのさまざまな値に対する指数関数a ^ x。（独自の詳細）
指数関数のプロパティ
図1から、指数関数の領域は実数（Dom f = R）であり、範囲またはパスは正の実数（Ran f = R +）であることがわかります。
一方、底aの値に関係なく、すべての指数関数は点（0、1）と点（1、a）を通過します。
基数a> 1の場合、関数は増加し、0 <a <1の場合、関数は減少します。
y = a ^ xおよびy =（1 / a）^ xの曲線は、Y軸に対して対称です。
a = 1の場合を除いて、指数関数は単射的です。つまり、イメージの各値は1つだけの開始値に対応します。
対数関数
これは、数値の対数の定義に基づく実際の独立変数の実際の関数です。数値xに基づく対数は、引数xを取得するために底がべき乗される数値yです。
log a（x）= y⇔a ^ y = x
つまり、に基づく対数関数は、に基づく指数関数の逆関数です。
例えば：
log 2 1 = 0、2 ^ 0 = 1なので
別のケースでは、2 ^ 2 = 4であるため、log 2 4 = 2です。
2のルート対数がログされる2 √2= 1/2ために2 ^½=√2
ログ2 ¼= -2、2 ^ので（ - 2）=¼
以下は、さまざまな底の対数関数のグラフです。
図2.ベースのさまざまな値の指数関数。（独自の詳細）
対数関数のプロパティ
対数関数y（x）= log a（x）の領域は、正の実数R +です。移動範囲または実数Rです。
底に関係なく、対数関数は常に点（1,0）を通過し、点（a、1）はその関数のグラフに属します。
底aが1よりも大きい場合（a> 1）、対数関数は増加しています。しかし、（0 <a <1）の場合、それは減少関数です。
サイン、コサイン、タンジェント関数
正弦関数は実数を各x値に割り当てます。ここで、xはラジアンでの角度の測定を表します。角度のSen（x）の値を取得するために、角度は単位円で表され、その角度の垂直軸への投影はその角度に対応する正弦です。
さまざまな角度値X1、X2、X3、およびX4の三角関数の円と正弦を以下に示します（図3）。
図3.三角円とさまざまな角度のサイン。（独自の詳細）
このように定義すると、関数Sen（x）の最大値は1です。これは、x =π/ 2 +2πnの場合に発生します（nは整数（0、±1、±2））。関数Sen（x）が取ることができる最小値は、x =3π/ 2 +2πnの場合に発生します。
コサイン関数y = Cos（x）も同様に定義されますが、角度位置P1、P2などの射影は、三角円の水平軸上で実行されます。
一方、関数y = Tan（x）は、正弦関数と余弦関数の商です。
以下は、超越関数Sen（x）、Cos（x）、Tan（x）のグラフです。
図4.超越関数のサイン、コサイン、タンジェントのグラフ。（独自の詳細）
微分と積分
指数関数の導関数
指数関数y = a ^ xの導関数y 'は、関数a ^ xに底aの自然対数を掛けたものです。
y '=（a ^ x）' = a ^ x ln a
ベースeの特定のケースでは、指数関数の導関数は指数関数自体です。
指数関数の積分
^ xの不定積分は、関数自体を底の自然対数で割ったものです。
基数eの特定のケースでは、指数関数の積分は指数関数自体です。
超越関数の導関数と積分の表
以下は、主な超越関数、それらの導関数、および不定積分（反導関数）の要約表です。
いくつかの超越関数の導関数と不定積分の表。（独自の詳細）
例
例1
関数f（x）= x ^ 3と関数g（x）= cos（x）の合成から得られる関数を求めます。
（フォグ）（x）= f（g（x））= cos 3（x）
その導関数とその不定積分は次のとおりです。
例2
関数gと関数fの合成を求めます。ここで、gとfは前の例で定義された関数です。
（gof）（x）= g（f（x））= cos（x 3）
関数の構成は可換演算ではないことに注意してください。
この関数の微分と不定積分はそれぞれ次のとおりです。
基本関数の組み合わせとして結果を正確に書き込むことができないため、積分は示されたままにされました。
参考文献
- 単一変数の微積分。ロン・ラーソン、ブルース・H・エドワーズ。Cengage Learning、11月10日 2008年
- 陰関数の定理：歴史、理論、およびアプリケーション。スティーブンG.クランツ、ハロルドR.パークス。Springer Science&Business Media、11月9日。2012
- 多変数分析。Satish Shirali、Harkrishan Lal Vasudeva。Springer Science&Business Media、12月13日。2010
- システムダイナミクス：メカトロニクスシステムのモデリング、シミュレーション、および制御。ディーンC.カルノップ、ドナルドL.マーゴリス、ロナルドC.ローゼンバーグ。ジョンワイリー&サンズ、3月7日 2012
- 微積分：数学とモデリング。ウィリアムボールドリー、ジョセフR.フィードラー、フランクR.ジョルダーノ、エドロディ、リックヴィトレイ。Addison Wesley Longman、1月1日 1999年
- ウィキペディア。超越関数。から回復：es.wikipedia.com