ユークリッド幾何学はユークリッドの公理が満たされる幾何学的空間の性質の研究に対応しています。この用語は、同様のプロパティを持つより高い次元を持つジオメトリをカバーするために使用されることもありますが、一般的には、古典的なジオメトリまたは平面ジオメトリと同義です。
III世紀にa。C.ユークリッドとその弟子は、論理演繹構造を備えた時間の数学的知識を網羅した作品であるElementsを作成しました。それ以来、幾何学は科学になり、当初は古典的な問題を解決し、理性を助ける形成科学に進化しました。
歴史
ユークリッド幾何学の歴史について語るには、アレクサンドリアと要素のユークリッドから始めることが不可欠です。
エジプトがプトレマイオス1世に残されたとき、アレクサンドル大王の死後、彼はアレクサンドリアの学校でプロジェクトを開始しました。
学校で教えた賢者の中にはユークリッドがいました。彼の誕生は紀元前約325年にさかのぼると推測されています。C.と彼の265人の死 C.彼がプラトンの学校に通ったことを私たちは確実に知ることができる。
30年以上にわたり、ユークリッドはアレクサンドリアで教え、その有名な要素を構築していました。彼は当時の数学の徹底的な説明を書き始めました。ユークリッドの教えは、アルキメデスやペルガのアポロニウスなどの優れた弟子を生み出しました。
ユークリッドは、エレメンスで古代ギリシャ人の異なる発見を構造化することを担当しましたが、彼の前任者とは異なり、彼は定理が真であることを確認することに限定しません。Euclidがデモンストレーションを提供します。
要素は13冊の本の大要です。聖書に続いて、これは最も出版された本であり、1,000以上の版があります。
ユークリッドの要素
要素は、幾何学の分野におけるユークリッドの傑作であり、2次元（平面）と3次元（空間）の幾何学の決定的な扱いを提供します。これが、現在ユークリッド幾何学として知られているものの原点です。 。
基本概念
要素は、定義、一般的な概念、仮説（または公理）と、それに続く定理、構成、および証明で構成されます。
・ポイントはパーツの無いところです。
-ラインは、幅のない長さです。
-直線とは、その中にある点との関係で等しく存在する直線です。
-隣接する角度が等しくなるように2つの線がカットされている場合、角度は直線と呼ばれ、線は垂直と呼ばれます。
-平行線とは、同じ平面上にあり、決して交差しない線です。
これらおよびその他の定義の後、ユークリッドは5つの仮定と5つの概念のリストを提示します。
一般的な概念
-3つに等しい2つのものは互いに等しい。
-同じものが同じものに追加された場合、結果は同じです。
-等しいものが減算されて等しい場合、結果は等しいです。
-一致するものは互いに等しい。
-合計が一部より大きい。
仮定または公理
-1つの線のみが2つの異なる点を通過します。
-直線は無制限に延長できます。
-任意の中心と半径の円を描くことができます。
-すべての直角が等しい。
-直線が2つの直線と交差し、同じ側の内角の合計が2つの直角未満になる場合、2つの線はその側で交差します。
この最後の仮説は平行仮説と呼ばれ、次のように再定式化されました。「線の外側の点の場合、指定された線に単一の平行を描画できます。」
例
次に、要素のいくつかの定理は、ユークリッドの5つの仮定が満たされる幾何学的空間の特性を示すのに役立ちます。さらに、それらはこの数学者が使用する論理演繹推論を示します。
最初の例
命題1.4。（LAL）
2つの三角形に2つの側面があり、それらの間の角度が等しい場合、他の側面と他の角度は等しくなります。
デモンストレーション
ABCとA'B'Cを、AB = A'B '、AC = A'Cの2つの三角形とし、角度BACとB'A'C'を等しくします。三角形A'B'Cを動かして、A'B 'がABと一致し、その角度B'A'Cが角度BACと一致するようにします。
したがって、ラインA'C 'はラインACと一致するため、C'はCと一致します。次に、仮定1によって、ラインBCはラインB'C 'と一致する必要があります。したがって、2つの三角形は一致し、その結果、それらの角度と辺は等しくなります。
2番目の例
命題1.5。（
三角形ABCの辺ABとACが等しいと仮定します。
したがって、三角形ABDとACDには2つの等しい辺があり、それらの間の角度は等しいです。したがって、命題1.4により、角度ABDとACDは等しくなります。
3番目の例
命題1.31
与えられた点によって与えられた線に平行な線を作成できます。
建物
線Lと点Pが与えられると、線MがPを介して描かれ、Lと交差します。次に、線NがPを介して描かれ、Lと交差します。ここで、線NがPを介して描かれ、Mと交差します。 LがMと形成する角度と等しい角度を形成します。
肯定
NはLに平行です。
デモンストレーション
LとNが平行ではなく、点Aで交差するとします。BをAを超えたLの点とします。BとPを通過する線Oを考えます。二つまっすぐ。
次に、1.5によって線OはMの反対側で線Lと交差する必要があるため、LとOは2つの点で交差します。これは、仮説1と矛盾します。したがって、LとNは平行でなければなりません。
参考文献
- ユークリッドジオメトリの要素。メキシコ国立自治大学
- ユークリッド。最初の6冊の本とユークリッドの要素の11番目と12番目
- オイゲニオ・フィロイ・ヤーグ。ユークリッド幾何学の教授学と歴史、Grupo Editorial Iberoamericano
- K.リブニコフ。数学の歴史。ミール社説
- Viloria、N.、&Leal、J.（2005）Plane Analytical Geometry。エディトリアルベネゾラナCA