ピタゴラス恒等式はすべて、角度の任意の値を保持する三角方程式であり、ピタゴラスの定理に基づいています。ピタゴラスのアイデンティティの中で最も有名なものは、基本的な三角関数のアイデンティティです。
罪2（α）+ Cos 2（α）= 1
図1.ピタゴラスの三角関数のアイデンティティ。
次に重要なのは、接線と割線のピタゴラスのアイデンティティを使用することです。
タン2（α）+ 1 =秒2（α）
そして、余接と余割を含むピタゴラスの三角関数のアイデンティティ：
1 + Ctg 2（α）= Csc 2（α）
デモンストレーション
三角比の正弦と余弦は、三角円と呼ばれる半径1の円で表されます。この円の中心は座標Oの原点です。
角度は、Xの正の半軸から測定されます（図2の角度αなど）（以下を参照）。角度が正の場合は反時計回り、角度が負の場合は時計回り。
原点Oと角度αの光線が描かれ、点Pで単位円をインターセプトします。点Pは水平軸Xに直角に投影され、点Cを生じます。同様に、垂直軸Yに垂直に投影され、 Sを指す場所
Cには直角三角形OCPがあります。
サインとコサイン
三角比のサインは直角三角形上で次のように定義されることに注意してください。
三角形の角度のサインは、角度の反対側の脚と三角形の斜辺の間の比率または商です。
図2の三角形のOCPに適用すると、次のようになります。
セン（α）= CP / OP
ただし、CP = OSおよびOP = 1なので、次のようになります。
Sen（α）= OS
つまり、Y軸上の投影OSの値は、表示された角度の正弦に等しくなります。角度の正弦の最大値（+1）は、α= 90°のときに発生し、α= -90°またはα= 270°のときの最小値（-1）に注意してください。
図2.ピタゴラスの定理と基本的な三角関数のアイデンティティとの関係を示す三角関数の円。（独自の詳細）
同様に、角度の余弦は、角度に隣接する脚と三角形の斜辺との間の商です。
図2の三角形のOCPに適用すると、次のようになります。
Cos（α）= OC / OP
OP = 1なので、次のようになります。
Cos（α）= OC
これは、X軸上の投影OCが、示された角度の正弦に等しい値を持つことを意味します。コサインの最大値（+1）はα=0ºまたはα=360ºのときに発生し、コサインの最小値はα=180ºのとき（-1）であることに注意してください。
基本的なアイデンティティ
Cの直角三角形OCPには、ピタゴラスの定理が適用されます。これは、脚の2乗の合計が斜辺の2乗に等しいことを示しています。
CP 2 + OC 2 = OP 2
しかし、CP = OS = Sen（α）、OC = Cos（α）、およびOP = 1であると既に述べられているため、前の式は、角度の正弦と余弦の関数として書き換えることができます。
罪2（α）+ Cos 2（α）= 1
接線の軸
三角円のX軸が余弦軸であり、Y軸が正弦軸であるのと同じように、接線軸（図3を参照）があります。これは、点での単位円への接線です。座標のB（1、0）。
角度の接線の値を知りたい場合、角度はXの正の半軸から描かれ、角度と接線の軸の交点が点Qを定義し、セグメントの長さOQは、角度。
これは、定義により、角度αの接線が隣接する脚OB間の反対側の脚QBであるためです。つまり、Tan（α）= QB / OB = QB / 1 = QBです。
図3.接線の軸と接線のピタゴラスの正体を示す三角円。（独自の詳細）
接線のピタゴラスのアイデンティティ
接線のピタゴラスの正体は、Bの直角三角形OBQを考慮することで証明できます（図3）。この三角形にピタゴラスの定理を適用すると、BQ 2 + OB 2 = OQ 2になります。しかし、BQ = Tan（α）、OB = 1、OQ = Sec（α）であると既に述べられているため、直角三角形のOBQをピタゴラスの等式で置き換えると、次のようになります。
Tan 2（α）+ 1 = Sec 2（α）。
例
ピタゴラスのアイデンティティが、脚AB = 4とBC = 3の直角三角形で満たされているかどうかを確認します。
解決策：脚は既知であり、斜辺を決定する必要があります。
AC =√（AB ^ 2 + BC ^ 2）=√（4 ^ 2 + 3 ^ 2）=√（16 + 9）=√（25）= 5。
角度∡BACはα、∡BAC=αと呼ばれます。これで三角比が決定されました：
Senα= BC / AC = 3/5
Cosα= AB / AC = 4/5
したがって、α= BC / AB = 3/4
コタンα= AB / BC = 4/3
秒α= AC / AB = 5/4
Cscα= AC / BC = 5/3
それは基本的な三角関数のアイデンティティから始まります：
罪2（α）+ Cos 2（α）= 1
（3/5）^ 2 +（4/5）^ 2 = 9/25 + 16/25 =（9 +16）/ 25 = 25/25 = 1
それが満たされていると結論付けられます。
-次のピタゴラスのアイデンティティは接線のアイデンティティです：
タン2（α）+ 1 =秒2（α）
（3/4）^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 =（9 + 16）/ 16 = 25/16 =（5/4）^ 2
そして、接線の同一性が検証されると結論付けられます。
-コタンジェントと同様に：
1 + Ctg 2（α）= Csc 2（α）
1+（4/3）^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 =（5/3）^ 2
これも満たされていると結論付けられ、指定された三角形のピタゴラスのアイデンティティを検証するタスクが完了しました。
解決された演習
三角比とピタゴラスのアイデンティティの定義に基づいて、次のアイデンティティを証明します。
演習1
Cos 2 x =（1 + Sin x）（1-Sin x）であることを証明します。
解決策：右側では、二項式とその共役の乗算の驚くべき積が認識されています。
Cos 2 x = 1 2 -Sin 2 x
次に、右側に正弦がある項は、符号が変更された左側に渡されます。
Cos 2 x + Sen 2 x = 1
基本的な三角関数の同一性に達していることに注意してください。そのため、与えられた式は同一性であると結論付けられます。つまり、xの任意の値に対して真です。
演習2
基本的な三角関数のアイデンティティから始め、三角比の定義を使用して、余割のピタゴラスのアイデンティティを示します。
ソリューション：基本的なアイデンティティは次のとおりです。
罪2（x）+ Cos 2（x）= 1
両方のメンバーはSen 2（x）で除算され、分母は最初のメンバーに分配されます。
罪2（x）/罪2（x）+ Cos 2（x）/罪2（x）= 1 /罪2（x）
簡略化されています：
1 +（Cos（x）/ Sen（x））^ 2 =（1 / Sen（x））^ 2
Cos（x）/ Sen（x）= Cotan（x）は（非ピタゴラスの）同一性であり、三角比の定義そのものによって検証されます。同じことが次のIDでも発生します：1 / Sen（x）= Csc（x）。
最後に、次のことを行う必要があります。
1 + Ctg 2（x）= Csc 2（x）
参考文献
- Baldor J.（1973）。三角法の概要を含む平面と空間のジオメトリ。中央アメリカの文化。交流
- CEA（2003）。ジオメトリ要素：演習とコンパスジオメトリ。メデリン大学。
- Campos、F.、Cerecedo、FJ（2014）。数学2. Grupo社説Patria。
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- ミラー、ヒーレン、ホーンズビー。（2006）。数学：推論とアプリケーション（第10版）。ピアソン教育。
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- ウィキペディア。三角法のアイデンティティと式。から回復：es.wikipedia.com