ケプラーの法則惑星運動のは、ドイツの天文学者ヨハネス・ケプラー（1571年から1630年）によって作られました。ケプラーは、彼の教師であるデンマークの天文学者ティコ・ブラーエ（1546-1601）の研究に基づいてそれらを推定しました。
Braheは、望遠鏡がまだ発明されていなかったことを考慮して、驚くべき精度と正確さで、20年以上にわたる惑星の動きのデータを注意深く編集しました。データの有効性は今日でも有効です。
図1.ケプラーの法則による惑星の軌道。出典：ウィキメディア・コモンズ。ウィロー/ CC BY（https://creativecommons.org/licenses/by/3.0）
ケプラーの3つの法則
ケプラーの法則は次のように述べています：
-第一法則：すべての惑星は、焦点の1つで太陽と楕円軌道を描きます。
これは、比T 2 / r 3がすべての惑星で同じであることを意味します。これにより、軌道周期がわかっている場合は、軌道半径を計算できます。
Tが年で表され、rが天文単位AU *で表される場合、比例定数はk = 1です。
*天文単位は、地球と太陽の間の平均距離である1億5000万キロメートルに相当し、地球の軌道周期は1年です。
万有引力の法則とケプラーの第三法則
万有引力の法則は、質量Mとmの2つのオブジェクト間の引力の重力の大きさは、中心が距離rだけ離れていることから、
Gは重力の普遍定数で、その値はG = 6.674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2です。
現在、惑星の軌道は非常に小さな偏心で楕円形です。
これは、小惑星の冥王星などの場合を除いて、軌道が円周からそれほど離れていないことを意味します。軌道を円形に近似すると、惑星の運動の加速度は次のようになります。
F = maなので、次のようになります。
ここで、vは太陽の周りの惑星の線形速度であり、静的で質量Mであると仮定されていますが、惑星の線形速度はmです。そう：
これは、太陽から遠い惑星の軌道速度が低いことを説明しています。これは、1 /√rに依存するためです。
惑星が移動する距離は、ほぼ円周の長さ：L =2πrであり、軌道周期Tに等しい時間がかかるため、次のようになります。
vの両方の式を等式化すると、軌道周期の2乗であるT 2の有効な式が得られます。
この式において括弧4πので、これは、正確にケプラーの第3法則である2 / GMが一定で、したがってT、2は距離rの三乗に比例します。
軌道周期の決定的な方程式は、平方根をとることによって得られます。
図3.遠日点と近日点。出典：ウィキメディア・コモンズ。ピアソンスコットフォアズマン/パブリックドメイン
したがって、ケプラーの第3法則のaをrに置き換えます。ハレーの結果は次のようになります。
ソリューションb
a =½（近日点+遠日点）
実験
惑星の動きを分析するには、数週間、数か月、さらには数年もの注意深い観察と記録が必要です。しかし、実験室では、非常に単純な実験を非常に単純なスケールで実行して、ケプラーの等面積の法則が成り立つことを証明できます。
これには、運動を支配する力が中心である物理システムが必要です。これは、領域の法則が満たされるのに十分な条件です。そのようなシステムは、長いロープにつながれた塊で構成され、糸のもう一方の端はサポートに固定されています。
質量は平衡位置からわずかに移動し、わずかな衝撃が与えられるため、太陽の周りの惑星であるかのように、水平面で楕円形（ほぼ楕円形）の動きをします。
振り子によって記述された曲線で、次の条件が満たされている場合は、等しい面積で等しい時間をスイープすることが証明できます。
-引力の中心（平衡の初期点）から質量の位置までのベクトル半径を考慮します。
-そして、ムーブメントの2つの異なる領域で、同じ継続時間の2つの連続する瞬間の間をスイープします。
振り子のひもが長く、垂直から離れる角度が小さいほど、正味の復元力はより水平になり、シミュレーションは平面に中心力がある場合の動きに似ています。
次に、説明されている楕円が、惑星が移動する楕円などの楕円に近づきます。
材料
-非拡張スレッド
振り子ボブとして機能する1つの質量または金属製のボールが白く塗られている
-ルーラー
-コンベヤー
-自動ストロボディスク付き写真カメラ
-サポート
-2つの光源
-黒い紙または厚紙
処理する
振り子がその軌跡をたどるときに、振り子の複数のフラッシュの写真を撮るには、図を組み立てる必要があります。このためには、カメラを振り子とレンズの前の自動ストロボディスクの真上に配置する必要があります。
図4.振り子を組み立てて、等しい時間に等しい領域をスイープすることを確認します。出典：PSSCラボガイド。
このように、振り子の定期的な時間間隔、たとえば0.1秒または0.2秒ごとに画像が取得されるため、あるポイントから別のポイントに移動するのにかかった時間を知ることができます。
また、振り子の質量を適切に照明して、ライトを両側に配置する必要があります。レンズ豆は、背景のコントラストを改善するために白く塗る必要があります。これは、地面に広げた黒い紙で構成されています。
次に、振り子が等しい面積で等しい時間にスイープすることを確認する必要があります。これを行うには、時間間隔を選択し、その間隔で振り子が占めるポイントを用紙にマークします。
楕円の中心からこれらの点まで画像上に線が描かれるため、最初の領域は振り子によって掃引されます。これは、以下に示すような楕円形の扇形です。
図5.楕円セクターの面積。出典：F. Zapata
楕円形断面の面積の計算
分度器と、角度θ Oとθ 1が測定され、この式はS、楕円扇形の領域を見つけるために使用されます。
F（θ）が次の式で与えられるとします。
aとbはそれぞれ長軸と短軸です。この式を簡単に評価できる計算機がオンラインにあるので、読者は半軸と角度を注意深く測定することだけを心配する必要があります。
ただし、手動で計算することを主張する場合、角度θは度単位で測定されることに注意してください。ただし、データを計算機に入力するときは、値をラジアンで表す必要があります。
次に、振り子が同じ時間間隔で反転したポイントの別のペアをマークし、対応する領域を描画して、同じ手順でその値を計算する必要があります。
平等の法則の検証
最後に、面積の法則が満たされていること、つまり、等しい面積が等しい時間で掃引されることを確認する必要があります。
結果は期待されたものから少しずれていますか？すべての測定にはそれぞれの実験誤差が伴うことを常に心に留めておく必要があります。
参考文献
- けいさんオンライン計算機。楕円セクター計算機の面積。keisan.casio.comから回復。
- openstax。ケプラーの惑星運動の法則。回復元：openstax.org。
- PSSC。実験室物理学。エディトリアルReverté。から回復：books.google.co。
- Palen、S。2002。天文学。シャウムシリーズ。マグローヒル。
- ペレスR.中心力を備えたシンプルなシステム。回収元：francesphysics.blogspot.com
- スターン、D。ケプラーの3つの惑星運動の法則。から回復：phy6.org。