指数の法則（例と解答付き演習付き） - 数学 - 2025

指数の法則は、その数に適用されるものであり、基本数をそれ自体で乗算する必要がある回数を示します。指数はベキとも呼ばれます。エンパワーメントは、底（a）、指数（m）、および演算の結果である累乗（b）によって形成される数学演算です。

指数は、非常に大量に使用される場合に一般的に使用されます。これらは、同じ数を特定の回数乗算することを表す略語に過ぎないためです。指数は正と負の両方になり得ます。

指数の法則の説明

前に述べたように、指数はそれ自体で複数回乗算する数を表す省略形であり、指数は左側の数値にのみ関連します。例えば：

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

その場合、数値2は累乗の底であり、底の右上隅にある指数で示されるように3倍されます。式を読み取る方法はいくつかあります。2が3にレイズされ、2がキューブにレイズされます。

指数は、除算できる回数も示します。この演算と乗算を区別するために、指数の前にマイナス記号（-）が付いています（負）。これは、指数がaの分母にあることを意味します。分数。例えば：

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

これは、指数が奇数であるか、偶数であるかによって決まるため、基数が負の場合と混同しないでください。だからあなたは：

-指数が偶数の場合、パワーは正になります。例えば：

（-7）² = -7 _* -7 = 49。

-指数が奇数の場合、パワーは負になります。例えば：

（- 2）⁵ =（-2）*（ - 2）*（ - 2）*（ - 2）*（ - 2）= - 32。

指数が0に等しい場合、指数が1に等しい特殊なケースがあります。底が0である可能性もあります。その場合、指数によっては、パワーが不定になるかどうかが決まります。

指数を使用して数学的演算を実行するには、それらの演算の解を見つけやすくするためのいくつかのルールまたは基準に従う必要があります。

第1法則：1に等しい指数のべき乗

指数が1の場合、結果はベースと同じ値になります：a ¹ = a。

例

9 ¹ = 9。

22 ¹ = 22。

895 ¹ = 895。

第二法則：0に等しい指数のべき乗

指数が0の場合、底がゼロ以外の場合、結果は次のようになります：a ⁰ = 1。

例

1 ⁰ = 1。

323 ⁰ = 1。

1095 ⁰ = 1。

第三法則：負の指数

指数は負であるため、結果は分数になり、パワーは分母になります。たとえば、mが正の場合、a ^-m = 1 / a ^mです。

例

-3 ^-1 = 1/3。

-6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36。

-8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512。

第4法則：底が等しい力の乗算

基数が0であり、0と異なる電力を乗算するには、基数が残り、指数が追加されます：a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}。

例

-4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

-8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

-2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

第5法則：等しいベースを持つ権限の分割

底が0と等しく、底が異なる累乗を除算するために、底は保持され、指数は次のように減算されます：a ^m / a ⁿ = a ^m-n。

例

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{（2 - 1）} = 9 ¹。

- 6 ¹⁵ /6 ^年10月 = 6 ^（15-10） = 6 ⁵。

- ^12月 49 ^日 / 49 ⁶ = 49 ^（12-6） = 49 ⁶。

第6法則：異なるベースを持つパワーの乗算

この法則は、4番目の法則とは正反対です。つまり、基数が異なるが指数が同じ場合は、基数が乗算され、指数が保持されます：a ^m _* b ^m =（a _* b）^m。

例

-10 ² _* 20 ² =（10 _* 20）² = 200 ²。

-45 ¹¹ _* 9 ¹¹ =（45 * 9）^{11 =} 405 ¹¹。

この法則を表すもう1つの方法は、乗算を累乗するときです。したがって、指数は（a _* b）^m = a ^m _* b ^mの各項に属します。

例

-（5 _* 8）⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴。

-（23 * 7）⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶。

第7法則：異なるベースを持つ権限の分割

底が異なるが指数が同じ場合は、底を除算して指数を保持します：a ^m / b ^m =（a / b）^m。

例

- 30 ³ /2 ³ =（2/30）³ = 15 ³。

- 440 ⁴ /80 ⁴ =（80分の440）⁴ = 5.5 ⁴。

同様に、除算が累乗されると、指数は（a / b）^m = a ^m / b ^mの各項に属します。

例

- （8/4）⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸。

- （5分の25）² = 25 ² /5 ² = 5 ²。

指数が負の場合があります。次に、正になるように、分子の値が次のように分母の値と逆になります。

-（a / b）^-n =（b / a）ⁿ = b ⁿ / a ⁿ。

- （4/5）^-9 =（5/4）⁹ = 5 ⁹ /4 4 。

第8の法則：力の力

別の累乗、つまり同時に2つの指数に累乗された指数がある場合、底が維持され、指数が乗算されます：（a ^m）ⁿ = a ^{m * n}。

例

-（8 ³）² = 8 ^{（3 * 2）} = 8 ⁶。

-（13 ⁹）³ = 13 ^{（9 * 3）} = 13 ²⁷。

-（238 ¹⁰）¹² = 238 ^{（10 * 12）} = 238 ¹²⁰。

第9法則：分数指数

累乗が指数として分数を持っている場合、これをn番目の根に変換することによって解決されます。分子は指数のままで、分母は根のインデックスを表します。

例

解決された演習

演習1

異なる基底を持つ勢力間の操作を計算します。

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ²。

解決

指数の規則を適用すると、次のように、分子内で底が乗算され、指数が維持されます。

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² =（2 _* 4）⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

これで、基数は同じですが指数が異なるため、基数が保持され、指数が減算されます。

8 ⁴ /8 ² = 8 ^（4-2） = 8 ²

演習2

別の累乗に累乗された累乗間の演算を計算します。

（3 ²）³ _*（2 _* 6 ⁵）^-2 _*（2 ²）³

解決

法律を適用するには、次のことを行う必要があります。

（3 ²）³ _*（2 _* 6 ⁵）^-2 _*（2 ²）³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{（-2）+（-10）}_* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{（-12）+（6）}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

=（3 _* 2）⁶

= 6 ⁶

= 46,656

参考文献

1. Aponte、G.（1998）。基本的な数学の基礎。ピアソン教育。
2. Corbalán、F.（1997）。日常生活に適用される数学。
3. ヒメネス、JR（2009）。数学1 SEP。
4. マックス・ピーターズ、WL（1972）。代数と三角法。
5. リース、PK（1986）。元に戻す。