リットルのモルガンの目が確立命題論理で使用される推論規則、何であるかを論理和と提案や命題変数の組み合わせを否定した結果。これらの法律は、数学者アウグストゥスドモルガンによって定義されました。
モーガンの法則は、数学的推論の有効性を実証するための非常に有用なツールです。その後、それらは数学者ジョージ・ブールによって集合の概念の中で一般化されました。
ブールによって行われたこの一般化は、初期のモーガンの法則と完全に同等ですが、命題ではなく集合のために特別に開発されました。この一般化は、モーガンの法則としても知られています。
命題論理のレビュー
モーガンの法則が具体的に何であり、どのように使用されるかを検討する前に、命題論理のいくつかの基本的な概念を覚えておくと役に立ちます。（詳細については、命題論理に関する記事を参照してください）。
数学的（または命題）ロジックの領域では、推論は一連の前提または仮説から出される結論です。この結論は、前述の前提とともに、数学的推論として知られているものを生み出します。
そのような推論は、実証可能または否定されなければなりません。つまり、数学的な推論におけるすべての推論または結論が有効であるとは限りません。
誤解
真であると仮定されている特定の仮説からなされた誤った推論は、誤謬として知られています。誤謬は正しいように見える議論であるという特異性を持っていますが、数学的にはそうではありません。
命題論理は、曖昧さなく、数学的推論を検証または反駁できる方法を開発および提供する責任があります。つまり、施設から有効な結論を推測します。これらの方法は、モーガンの法則の一部である推論規則として知られています。
命題
命題論理の本質的な要素は命題です。命題とは、有効であるとはいえないが、同時に真または偽であるとは言えない陳述です。この問題に曖昧さはありません。
加算、減算、乗算、除算の演算を通じて数値を組み合わせることができるのと同様に、命題は、よく知られている論理接続詞（または結合子）を使用して演算できます。否定（¬、「not」）、分離（V 、「Or」）、論理積（Ʌ、「and」）、条件付き（→、「if…、then…」）および二条件付き（↔、「if、およびif if only」）。
より一般的には、特定の命題を考慮する代わりに、命題を表す命題変数が考慮され、それらは通常小文字のp、q、r、sなどで表されます。
命題式は、いくつかの論理接続詞による命題変数の組み合わせです。つまり、命題変数の合成です。彼らは通常ギリシャ文字で表されます。
前者が真であるたびに後者が真である場合、命題式は論理的に別のものを意味すると言われています。これは次のように表されます。
2つの命題式の間の論理的含意が相互的である場合、つまり前の含意が反対の意味でも有効である場合、式は論理的に同等であると言われ、次のように表されます。
論理的等価性は命題式間の一種の等価性であり、必要に応じて一方を他方に置き換えることができます。
モーガンの法則
モーガンの法則は、次の2つの命題形式の間の2つの論理的等価物で構成されます。
これらの法律では、論理和または論理和の否定を、関連する変数の否定として分離することができます。
最初のものは次のように読むことができます：選言の否定は否定の論理積に等しいです。そして、2番目は次のように読みます。接続詞の否定は否定の分離です。
言い換えれば、2つの命題変数の論理和を否定することは、両方の変数の否定の論理積と同等です。同様に、2つの命題変数の結合を否定することは、両方の変数の否定を分離することと同じです。
先に述べたように、この論理的同等性を代入すると、他の既存の推論規則とともに重要な結果を証明するのに役立ちます。これらを使用すると、多くの命題式を簡略化できるので、より使いやすくなります。
以下は、モーガンの法則を含む推論規則を使用した数学的証明の例です。具体的には、式は次のとおりです。
これは次と同等です。
後者の方が理解と開発が簡単です。
デモンストレーション
モーガンの法則の有効性は数学的に証明できることは言及する価値があります。1つの方法は、真理値表を比較することです。
セット
同じ推論のルールと命題に適用されるロジックの概念も、セットを考慮して開発できます。これは、数学者George Booleにちなんでブール代数として知られているものです。
ケースを区別するには、表記法を変更してセットに転送する必要があります。これは、すでに見られている命題論理のすべての概念です。
セットはオブジェクトのコレクションです。セットは大文字のA、B、C、X、…で示され、セットの要素は小文字のa、b、c、xなどで示されます。要素aが集合Xに属する場合、それは次のように表されます。
Xに属していない場合、表記は次のようになります。
セットを表す方法は、それらの要素を中括弧内に配置することです。たとえば、自然数のセットは次のように表されます。
セットは、要素の明示的なリストを記述せずに表すこともできます。それらは{：}の形式で表現できます。コロンは「そんな」と読みます。2つのポイントの左側には、セットの要素を表す変数が配置され、右側には、それらが満たすプロパティまたは条件が配置されます。これは：
たとえば、-4より大きい整数のセットは次のように表すことができます。
または、以下のように、同等に、さらに省略されます。
同様に、次の式はそれぞれ奇数と偶数のセットを表します。
セットの和集合、交差、および補集合
次に、セット間の基本的な操作の一部であるセットの場合の論理接続詞の類似体を見ていきます。
ユニオンと交差
セットの和集合と共通部分は、それぞれ次のように定義されます。
たとえば、次のセットを考えます。
したがって、次のことを行う必要があります。
補体
セットの補集合は、そのセットに属さない（元のタイプと同じタイプの）要素によって形成されます。セットAの補数は、次のように表されます。
たとえば、自然数では、偶数のセットの補数は奇数の補数であり、その逆も同様です。
セットの補集合を決定するには、検討されている要素のユニバーサルセットまたはメインセットが最初から明確でなければなりません。たとえば、自然数よりも有理数よりもセットの補集合を考慮することは同じではありません。
次の表は、以前に定義されたセットの操作と命題論理の接続詞の間に存在する関係または類推を示しています。
セットに関するモーガンの法則
最後に、モーガンのセットに関する法則は次のとおりです。
つまり、ユニオンの補数は補数の共通部分であり、共通部分の補数は補数の共通部分です。
最初の等式の数学的証明は次のようになります。
2番目の証明も同様です。
参考文献
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