ブール代数：歴史、定理と仮定、例 - 数学 - 2025

ブール代数またはブール代数は、バイナリ変数の治療のために使用代数的表記法です。それは、補完的で相互に排他的な2つの可能な結果のみを持つ変数の研究をカバーします。たとえば、唯一の可能性が真または偽、正しいまたは正しくない、オンまたはオフである変数は、ブール代数の研究の基礎です。

ブール代数はデジタルエレクトロニクスの基礎を構成しており、今日ではかなり存在しています。これは、論理ゲートの概念によって管理されます。論理ゲートでは、従来の代数での既知の演算が特に影響を受けます。

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歴史

ブール代数は、1854年に当時の独学者であったイギリスの数学者ジョージブール（1815-1864）によって導入されました。彼の懸念は、アウグストゥスデモーガンとウィリアムハミルトンの間のこの論理システムを定義するパラメーターに関する既存の論争から生じました。

ジョージ・ブールは、数値の定義0と1は、論理の分野では、それぞれNothingとUniverseの解釈に対応すると主張しました。

George Booleの意図は、代数の特性を通じて、バイナリ型の変数を処理するために必要な命題論理の表現を定義することでした。

1854年に、ブール代数の最も重要なセクションは、「論理と確率の数学的理論の基礎となる思考法則の調査」という本に掲載されました。

この奇妙なタイトルは後で「思考の法則」（「思考の法則」）として要約されます。タイトルは、当時の数学的コミュニティからすぐに注目を集めたことで有名になりました。

1948年、クロードシャノンはそれを双安定電気スイッチング回路の設計に適用しました。これは、電子デジタル方式全体でのブール代数の適用の紹介として役立ちました。

構造

このタイプの代数の基本値は0と1で、それぞれFALSEとTRUEに対応しています。ブール代数の基本的な演算は3です。

-AND演算または結合。ピリオド（。）で表されます。製品の同義語。

-OR演算または選言。十字（+）で表されます。合計の同義語。

-演算または否定ではありません。接頭辞NOT（NOT A）で表されます。また、補数としても知られています。

セット内で、内部構成のA 2法則が積と和（。+）として定義されている場合、トリプル（A. +）は、そのトリプルが格子であるという条件を満たす場合にのみブール代数と呼ばれます。分配。

分散ラティスを定義するには、指定された操作間で分布条件を満たす必要があります。

。合計+ aに関して分配的です。（b + c）=（a。b）+（a。c）

+は、製品に関して分配的です。 a +（b。c）=（a + b）。（a + c）

セットAを構成する要素はバイナリである必要があるため、ユニバースまたはボイドの値を持っています。

用途

その主なアプリケーションシナリオはデジタルブランチで、関連する論理演算を構成する回路を構築する役割を果たします。プロセスを最適化するために回路を単純化する技術は、ブール代数の正しい適用と実践の結果です。

電気パネルの作成から、データの伝送を経て、さまざまな言語でのプログラミングに至るまで、あらゆる種類のデジタルアプリケーションでブール代数を頻繁に見つけることができます。

ブール変数はプログラミングの構造において非常に一般的です。使用するプログラミング言語に応じて、これらの変数を使用するコードに構造演算があります。各言語の条件と引数は、ブール変数を使用してプロセスを定義します。

仮定する

ブール代数の構造論理法則を支配する定理があります。同様に、実行される操作に応じて、バイナリ変数のさまざまな組み合わせで考えられる結果を知るための仮定があります。

合計（+）

論理要素が共用体（U）であるOR演算子は、バイナリ変数に対して次のように定義されます。

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

製品 （。）

論理要素が交差（∩）であるAND演算子は、バイナリ変数に対して次のように定義されます。

0。0 = 0

0。1 = 0

1 。0 = 0

1 。1 = 1

反対（NOT）

論理要素が補数（X）であるNOT演算子は、バイナリ変数に対して次のように定義されます。

NOT 0 = 1

NOT 1 = 0

仮定の多くは、従来の代数の対応するものとは異なります。これは、変数のドメインによるものです。たとえば、ブール代数（1 + 1）にユニバース要素を追加しても、バイナリセットの要素に属していないため、従来の結果の2は得られません。

定理

ゼロと統一のルール

バイナリ変数を持つ要素を含む簡単な操作が定義されています。

0 + A = A

1 + A = 1

0。A = 0

1 。A = A

等しいパワーまたはべき等

等しい変数間の演算は次のように定義されます。

A + A = A

へ。A = A

補完

変数とその補数の間の演算は、次のように定義されます。

A + NOT A = 1

へ。NOT A = 0

畳み込みまたは二重否定

二重否定は自然変数と見なされます。

NOT（NOT A）= A

可換

A + B = B + A; 合計の可換性。

へ。B =B。TO; 製品の可換性。

連想

A +（B + C）=（A + B）+ C = A + B + C; 合計の結合性。

へ。（B. C）=（A. B）。C =A。Ｂ．C; 製品の関連性。

分配的

A +（B. C）=（A + B）。（A + C）; 製品に関する合計の分散性。

へ。（B + C）=（A. B）+（A + C）; 合計に対する製品の分配性。

吸収の法則

複数の参考文献には多くの吸収則があり、最もよく知られているものは次のとおりです。

へ。（A + B）= A

へ。（NOT A + B）=A。B

NOT A（A + B）= NOTA。B

（A + B）。（A + NOT B）= A

A +A。B = A

A + NOT A. B = A + B

A + Aではありません。B = NOT A + B

へ。B +A。NOT B = A

モーガンの定理

これらは、変換代数であり、ブール代数（+。）の定義済み演算間で相互作用する変数のペアを処理します。

NOT（A. B）= NOT A + NOT B

NOT（A + B）= NOTA。Bではない

A + B = NOT（NOT A + NOT B）

へ。B = NOT（NOT A. NOT B）

双対性

すべての仮定と定理は双対性を備えています。これは、変数と演算を交換することによって、結果の命題が検証されることを意味します。つまり、0を1に、ANDをORに、またはその逆に交換する場合。完全に有効な式が作成されます。

たとえば、仮説がとられた場合

1 。0 = 0

そして双対性が適用されます

0 + 1 = 1

別の完全に有効な仮定が取得されます。

カルノーの地図

カルノーマップは、論理関数を簡略化するためにブール代数で使用される図です。これは、命題論理の真理値表に似た2次元の配列で構成されています。真理値表のデータは、Karnaughマップに直接取り込むことができます。

Karnaughマップは、最大6つの変数のプロセスに対応できます。変数の数が多い関数の場合、プロセスを簡略化するためにソフトウェアの使用をお勧めします。

モーリスカーナウによって1953年に提案され、それはブール代数の分野における固定ツールとして確立されました。その実装は、デジタルプロセスの流動性の主要な側面であるブール式を簡略化する必要性と人間の可能性を同期させるからです。

例

ブール代数は、回路の論理ゲートを削減するために使用されます。優先度は、回路の複雑度またはレベルを可能な限り低い式にすることです。これは、各ゲートが想定している計算遅延が原因です。

次の例では、ブール代数の定理と仮定を使用して、論理式をその最小式に単純化します。

NOT（AB + A + B）。NOT（A + NOT B）

ない。NOT（A + NOT B）; 共通因子を使って因数分解A。

ない。NOT（A + NOT B）; 定理A + 1 = 1によって。

NOT（A + B）。NOT（A + NOT B）; 定理Aによる 1 = A

（NOT A. NOT B）。;

モーガンの定理によるNOT（A + B）= NOT A Bではない

（NOT A. NOT B）。（A. Bではありません）; 二重否定定理によってNOT（NOT A）= A

Aではない Bではない Aではない B; 代数的グループ化。

Aではない Aではない Bではない B; 製品Aの可換性 B =B。に

Aではない Bではない B; 定理Aによって A = A

Aではない 0; 定理Aによって NOT A = 0

0; 定理Aによって 0 = 0

へ。Ｂ．C + NOT A +A。Bではない C

へ。C. （B + NOT B）+ NOT A; 共通因子による因数分解（A. C）。

へ。C. （1）+ NOT A; 定理によりA + NOT A = 1

へ。C + Aではない; ゼロ定理と統一の法則1。A = A

A + Cではない ; モーガンAの法則+ Aではない。B = A + B

このソリューションでは、モーガンの法則を拡張して以下を定義する必要があります。

NOT（NOT A）。C + NOT A = NOT A + C

NOT（NOT A）= Aはインボリューションによるため。

ロジック機能を簡素化

Aではない Bではない NOT C + NOTA。Bではない C + NOT A. Cをその最小式まで下げない

Aではない Bではない （C + Cではない）+ Aではない Cではない; 共通因子による因数分解（NOT A. NOT B）

Aではない Bではない （1）+ NOT A. Cではない; 定理によりA + NOT A = 1

（NOT A. NOT B）+（NOT A. NOT C）; ゼロ定理と統一の法則1。A = A

NOT A（NOT B + NOT C）; 共通因子によるNOT Aの因数分解

Aではない NOT（B. C）; モーガン法によるNOT（A. B）= NOT A + NOT B

NOTモルガンの法則NOT（A.のB）= NOT A + NOT Bにより、

太字の4つのオプションはいずれも、回路のレベルを下げるための可能な解決策を表しています

論理関数を最も単純な形式に単純化する

（A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B）。C

（A. NOT B. C + A. 0. D + NOT A. NOT B）。C; 定理Aによって NOT A = 0

（A. NOT B. C + 0 + NOT A. NOT B）。C; 定理Aによって 0 = 0

（A. NOT B. C + NOT A. NOT B）。C; 定理によりA + 0 = A

へ。Bではない C. C + NOT A. Bではない C; 合計に対する製品の分布性によって

へ。Bではない C + NOT A. Bではない C; 定理Aによって A = A

Bではない C（A + NOT A）; 共通因子による因数分解（B. Cではない）

Bではない C（1）; 定理によりA + NOT A = 1

Bではない C; ゼロ定理と統一の法則1。A = A

参考文献

1. ブール代数とその応用J. Eldon Whitesitt。コンチネンタル出版社、1980。
2. コンピュータサイエンスの数学と工学。クリストファー・J・ヴァン・ウィック。コンピュータ科学技術研究所。国家標準局。ワシントンDC 20234
3. コンピュータサイエンスのための数学。エリック・リーマン。Google Inc.
   F Thomson Leighton数学科、マサチューセッツ工科大学コンピュータサイエンスおよびAIラボ。Akamai Technologies。
4. 抽象分析の要素。ミシェルオセアルコイド博士 数学科。大学カレッジダブリン、ベルドフィールド、ダブラインド。
5. 論理と演繹科学の方法論の紹介。アルフレッドタースキー、ニューヨークオックスフォード。オックスフォード大学出版局。