ベクトル代数：基本、大きさ、ベクトル - 数学

ベクトル代数を研究線型方程式系、ベクトル、行列、ベクトル空間と線形変換数学の分岐です。これは、エンジニアリング、微分方程式の解法、関数分析、オペレーションズリサーチ、コンピュータグラフィックスなどの分野に関連しています。

線形代数が採用したもう1つの領域は物理学です。これにより、物理現象の研究を発展させ、ベクトルを使用してそれらを記述することができるようになったためです。これは宇宙のより良い理解を可能にしました。

基礎

ベクトル代数は、四元数（実数の拡張）1、i、j、kの研究、およびギブスとヘビサイドによって促進されたデカルト幾何学から生まれました。さまざまな物理現象を表します。

ベクトル代数は次の3つの基礎を通して学習されます。

幾何学的に

ベクトルは方向を持つ線で表され、加算、減算、実数による乗算などの演算は、幾何学的な方法で定義されます。

分析的に

ベクトルとその演算の説明は、コンポーネントと呼ばれる数値で行われます。座標系が使用されているため、このタイプの記述は幾何学的表現の結果です。

公理的に

座標系や幾何学的表現のタイプに関係なく、ベクトルの説明が作成されます。

空間内の図形の研究は、1つまたは複数の次元の参照システムでの表現を通じて行われます。主なシステムは次のとおりです。

-1次元システム。1つのポイント（O）が原点を表し、別のポイント（P）がスケール（長さ）とその方向を決定する直線です。

-直交座標系（2次元）。これは、点（O）の原点を通る、x軸とy軸と呼ばれる2つの垂直線で構成されます。このようにして、飛行機は象限と呼ばれる4つの領域に分割されます。この場合、平面内の点（P）は、軸とPの間に存在する距離によって与えられます。

-極座標系（2次元）。この場合、システムは極と呼ばれる点O（原点）と極軸と呼ばれるOを原点とする光線で構成されます。この場合、極と極軸を基準とした平面の点Pは、原点と点Pの間に存在する距離によって形成される角度（Ɵ）によって与えられます。

-原点が空間内の点Oである3つの垂直線（x、y、z）によって形成される長方形の3次元システム。3つの座標平面が形成されます。xy、xz、yz。スペースはオクタントと呼ばれる8つの領域に分割されます。空間内の点Pの参照は、平面とPの間に存在する距離によって与えられます。

マグニチュード

マグニチュードは、いくつかの物理現象の場合のように、数値でカウントまたは測定できる物理量です。ただし、多くの場合、数値以外の要因でこれらの現象を説明できる必要があります。これが、等級が2つのタイプに分類される理由です。

スカラーの大きさ

これらは、数値で定義および表される数量です。つまり、測定単位とともにモジュールを使用します。例えば：

a）時間：5秒。

b）質量：10 kg。

c）容量：40 ml。

d）温度：40ºC。

ベクトルの大きさ

これらは、単位と一緒にモジュールによって、および感覚と方向によって定義および表される数量です。例えば：

a）速度：（5ȋ-3ĵ）m / s。

b）加速度：13 m / s ² ; S45ºE.

c）力：280 N、120º。

d）重量：-40ĵkg-f。

ベクトルの量は、ベクトルでグラフィック表示されます。

ベクトルとは何ですか？

ベクトルは、ベクトル量のグラフィック表現です。つまり、最終的な端が矢印の先端である線分です。

これらは、モジュールまたはセグメントの長さ、矢印の先端で示される方向、および所属する線に応じた方向によって決定されます。ベクトルの原点は、アプリケーションポイントとも呼ばれます。

ベクトルの要素は次のとおりです。

モジュール

これは、起点からベクトルの終点までの距離であり、単位とともに実数で表されます。例えば：

-OM- = -A- = A = 6 cm

住所

これは、x軸（正から）とベクトルの間に存在する角度の測定値であり、基点（北、南、東、西）が使用されます。

センス

これは、ベクトルの最後にある矢印によって示され、どこに向かっているかを示します。

ベクトルの分類

一般に、ベクトルは次のように分類されます。

固定ベクトル

用途（原点）が決まっているものです。つまり、空間内のポイントにリンクされたままなので、その中で移動することはできません。

無料のベクター

モジュール、方向、方向を変えずに原点を任意の点に移動できるため、自由に空間を移動できます。

スライダーベクトル

モジュール、方向、または方向を変更せずに、アクションラインに沿ってその原点を転送できるものです。

ベクトルのプロパティ

ベクターの主な特性には次のものがあります。

ベクトルteamlenses

それらは、同じモジュール、方向（またはそれらが平行）を持ち、スライディングベクトルまたは固定ベクトルとして検出されるフリーベクトルです。

同等のベクトル

これは、2つのベクトルが同じ方向（または平行）、同じ意味を持ち、異なるモジュールと適用点があっても、同じ効果をもたらすときに発生します。

ベクトルの等価性

開始点が異なる場合でも、これらは同じモジュール、方向、および方向を持ちます。これにより、並列ベクトルは、影響を受けずにそれ自体を変換できます。

反対ベクトル

それらは同じモジュールと方向を持つものですが、それらの意味は逆です。

単位ベクトル

モジュールとユニット（1）が等しいものです。これは、ベクトルをそのモジュールで除算することによって得られ、次のベースまたは正規化された単位ベクトルを使用して、平面または空間でのベクトルの方向と方向を決定するために使用されます。

ヌルベクトル

これは、係数が0に等しいものです。つまり、その起点と終点が同じ点で一致します。

ベクトルのコンポーネント

ベクトルのコンポーネントは、参照システムの軸上のベクトルの投影の値です。2次元または3次元の軸上にあるベクトルの分解に応じて、それぞれ2つまたは3つの成分が取得されます。

ベクトルの成分は実数であり、正、負、またはゼロ（0）の場合もあります。

したがって、xy平面（2次元）の直交座標系を原点とするベクトルhaveがある場合、x軸上の投影はĀxであり、y軸上の投影はĀyです。したがって、ベクトルはそのコンポーネントベクトルの合計として表されます。

例

最初の例

原点から始まるベクトルhaveがあり、その端の座標が与えられます。したがって、ベクトルA =（aは_xは、_Yを）=を（4,5）センチ。

ベクトルĀが（空間内の）3次元の三角形座標系の原点でx、y、zから別の点（P）まで作用する場合、その軸上の投影はĀx、Āy、Āzになります。したがって、ベクトルはその3つの成分ベクトルの合計として表されます。

2番目の例

原点から始まるベクトルhaveがあり、その端の座標が与えられます。したがって、ベクトルĀ=（A _x、A _y、 A _z）=（4、6、-3）cm。

直角座標を持つベクトルは、基本ベクトルで表すことができます。そのためには、各座標に対応する単位ベクトルを乗算する必要があります。これは、平面と空間の場合、次のようになるためです。

平面の場合：Ā= A _x i + A _y j。

スペースの場合：Ā= A _x i + A _y j + A _z k。

ベクトル演算

とりわけ、加速度、速度、変位、力などのモジュール、感覚、方向を持つ多くの量があります。

これらは科学のさまざまな分野で適用されており、それらを適用するには、ベクトルやスカラーの加算、減算、乗算、除算などの演算を実行する必要がある場合があります。

ベクトルの加算と減算

ベクトルの加算と減算は、減算を合計として記述できるため、単一の代数演算と見なされます。たとえば、ベクトルĀとĒの減算は、次のように表すことができます。

Ā-Ē=Ā+（-Ē）

ベクトルの足し算と引き算を実行する方法はいくつかあります。それらはグラフィカルまたは分析的です。

グラフィカルな方法

ベクトルにモジュール、方向、および方向がある場合に使用されます。このため、後で結果を判断するのに役立つ図を形成する線が描画されます。最もよく知られているものは次のとおりです。

平行四辺形法

2つのベクトルの加算または減算を行うには、座標軸上で共通のポイントを選択します。これは、ベクトル、モジュールの方向、方向を維持したまま、ベクトルの原点を表します。

次に、線がベクトルに平行に描かれ、平行四辺形が形成されます。結果のベクトルは、両方のベクトルの原点から平行四辺形の頂点に向かう対角線です。

トライアングル法

この方法では、ベクトルが順番に配置され、モジュール、方向、方向が維持されます。結果のベクトルは、最初のベクトルの起点と2番目のベクトルの終点の和集合になります。

分析方法

2つ以上のベクトルは、幾何学的またはベクトル法を介して加算または減算できます。

幾何学的方法

2つのベクトルが三角形または平行四辺形を形成する場合、m）.push（{}）;

-スカラー分布プロパティ：ベクトルに2つのスカラーの合計を乗算すると、それは各スカラーのベクトルの乗算に等しくなります。

ベクトルの乗算

ベクトルの乗算または積は加算または減算として実行できますが、そのように実行すると物理的な意味が失われ、アプリケーションではほとんど見つかりません。このため、最も一般的に使用されるタイプの積は、スカラーおよびベクトル積です。

スカラー積

2つのベクトルの内積としても知られています。2つのベクトルのモジュールに、それらの間に形成される最小角度の余弦を掛けると、スカラーが得られます。2つのベクトル間のスカラー積を表すには、ベクトル間にポイントを置きます。これは次のように定義できます。

2つのベクトル間に存在する角度の値は、それらが平行か垂直かによって異なります。したがって、次のことを行う必要があります。

-ベクトルが平行で同じ意味を持つ場合、余弦0º= 1。

-ベクトルが平行で逆方向の場合、コサイン180º= -1。

-ベクトルが垂直の場合、余弦90º= 0。

その角度は、次のことを知っていれば計算することもできます。

ドット積には次の特性があります。

-可換性：ベクトルの順序はスカラーを変更しません。

-Distributiveプロパティ：スカラーに2つのベクトルの合計を乗算すると、各ベクトルのスカラーの乗算に等しくなります。

ベクトル積

ベクトルの乗算、または2つのベクトルAとBの外積は、新しいベクトルCになり、ベクトル間のクロスを使用して表されます。

新しいベクトルには独自の特性があります。そのように：

-方向：この新しいベクトルは、元のベクトルによって決定される平面に対して垂直になります。

-方向：これは右手の法則で決定され、ベクトルAがBに向かって回転し、指で回転の方向を示し、ベクトルの方向は親指でマークされます。

-モジュール：これは、ベクトルAxBのモジュールの乗算によって、これらのベクトル間に存在する最小角度の正弦によって決定されます。それは表現されます：

2つのベクトル間に存在する角度の値は、それらが平行か垂直かによって異なります。したがって、次のように述べることができます。

-ベクトルが平行で同じ意味を持つ場合、正弦0º= 0です。

-ベクトルが平行で方向が逆の場合、正弦180º= 0。

-ベクトルが垂直の場合、正弦90º= 1。

ベクトル積がそのベースベクトルで表される場合、次のようになります。