オイラー法は、通常の微分方程式の近似数値解を見つけるために使用される最も基本的で単純な手順であり、初期条件が既知であることを条件とする最初の順序を、。
常微分方程式（ODE）は、単一の独立変数の未知の関数とその導関数を関連付ける方程式です。
オイラー法による逐次近似。出典：Oleg Alexandrov
方程式に現れる最大の導関数が1次である場合、それは1次の常微分方程式です。
1次の方程式を記述する最も一般的な方法は次のとおりです。
x = x 0
y = y 0
オイラー法とは？
オイラー法の考え方は、X 0とX fの間の区間で微分方程式の数値解を見つけることです。
最初に、間隔はn + 1ポイントで離散化されます。
x 0、x 1、x 2、x 3 …、x n
これは次のようにして得られます：
x i = x 0 + ih
ここで、hは部分区間の幅またはステップです。
初期条件では、最初に導関数を知ることも可能です。
y '（x o）= f（x o、y o）
この導関数は、点における関数y（x）の曲線に対する接線の傾きを表します。
Ao =（x o、y o）
次に、関数y（x）の値の近似予測が次の時点で行われます。
y（x 1）≈y 1
y 1 = y o +（x 1 -x o）f（x o、y o）= y o + hf（x o、y o）
次に、解の次の近似点が得られます。これは、以下に対応します。
A 1 =（x 1、y 1）
手順を繰り返して、連続するポイントを取得します
A 2、A 3 …、x n
最初に示した図では、青い曲線は微分方程式の正確な解を表し、赤い曲線はオイラー法によって得られた連続する近似点を表します。
解決された演習
演習1
I）微分方程式を次のようにします。
初期条件ではx = a = 0; そして、a = 1
オイラー法を使用して、座標X = b = 0.5でyの近似解を取得し、間隔をn = 5の部分に分割します。
解決
数値結果は次のように要約されます。
そこから、値0.5の解Yは1.4851であると結論付けられます。
注：計算の実行には、無料で使用できる無料のプログラムであるSmath Studioが使用されています。
演習2
II）演習I）の微分方程式を続けて、正確な解を見つけ、それをオイラー法で得られた結果と比較します。正確な結果と近似結果の誤差または差異を見つけます。
解決
正確な解決策を見つけるのはそれほど難しくありません。関数sin（x）の導関数は関数cos（x）として知られています。したがって、解y（x）は次のようになります。
y（x）= sin x + C
初期条件が満たされ、（0）= 1の場合、定数Cは1に等しい必要があります。次に、正確な結果が近似値と比較されます。
計算された間隔では、近似には3つの有効桁数の精度があると結論付けられます。
演習3
III）以下に示す微分方程式とその初期条件を考えます。
y '（x）=-y 2
初期条件ではx 0 = 0; および0 = 1
オイラー法を使用して、区間x =での解y（x）の近似値を見つけます。ステップh = 0.1を使用します。
解決
オイラー法は、スプレッドシートでの使用に非常に適しています。この場合、無料のオープンソースプログラムであるgeogebraスプレッドシートを使用します。
図のスプレッドシートは3つの列（A、B、C）を示しています。最初の列は変数x、2番目の列は変数yを表し、3番目の列は微分y 'を表します。
行2には、X、Y、Yの初期値が含まれています。
値ステップ0.1は、絶対位置セル（$ D $ 4）に配置されています。
y0の初期値はセルB2にあり、y1はセルB3にあります。y 1を計算するには、式が使用されます。
y 1 = y o +（x 1 -x o）f（x o、y o）= y o + hf（x o、y o）
このスプレッドシートの数式は、数値B3になります：= B2 + $ D $ 4 * C3。
同様に、y2はセルB4にあり、その式は次の図に示されています。
この図には、正確な解のグラフと、オイラー法による近似解の点A、B、…、Pも示されています。
ニュートン力学とオイラー法
古典力学はアイザックニュートン（1643-1727）によって開発されました。レナードオイラー（1707-1783）が彼の方法を開発する当初の動機は、さまざまな物理的状況におけるニュートンの第2法則の方程式を正確に解くことでした。
ニュートンの第2法則は通常、2次の微分方程式として表されます。
ここで、xは時間tにおけるオブジェクトの位置を表します。前記物体は、質量ｍを有し、力Ｆを受ける。関数fは、次のように力と質量に関連しています。
オイラー法を適用するには、時間t、速度v、位置xの初期値が必要です。
次の表は、初期値t1、v1、x1から開始して、瞬間v2 = t1 +Δtで速度v2と位置x2の近似値を取得する方法を説明しています。ここで、Δtは小さな増加を表し、方法のステップに対応しますオイラー。
演習4
IV）力学の基本的な問題の1つは、弾性定数Kのばね（またはばね）に結び付けられた質量Mのブロックの問題です。
この問題に関するニュートンの第二法則は次のようになります。
この例では、簡単にするために、M = 1およびK = 1とします。間隔を12の部分に再分割することにより、時間間隔でオイラー法により位置xと速度vの近似解を求めます。
初期インスタント、初期速度0、および初期位置1として0を取ります。
解決
数値結果を次の表に示します。
時間0と1.44の間の位置と速度のグラフも表示されます。
家庭用に提案された演習
演習1
スプレッドシートを使用して、微分方程式にオイラー法を使用した近似解を決定します。
y '=-初期条件x = 0、間隔x =でのy = -1のExp（-y）
0.1ステップから始めます。結果をプロットします。
演習2
スプレッドシートを使用して、次の2次方程式の数値解を求めます。ここで、yは独立変数tの関数です。
y '' =-1 /y²、初期条件はt = 0; および（0）= 0.5; y '（0）= 0
0.05のステップを使用して区間内の解を求めます。
結果をプロットします：y vs t; y 'vs t
参考文献
- Eurlerメソッドwikipedia.orgから取得
- オイラーソルバー。en.smath.comから取得