その行列に転置を掛けたものが恒等行列になるとき、直交行列があります。行列の逆が転置と等しい場合、元の行列は直交です。
直交行列には、行数と列数が等しいという特性があります。さらに、行ベクトルは単位直交ベクトルであり、転置行ベクトルも同様です。
図1.直交行列の例と、それが幾何学的オブジェクトを変換する方法。（リカルドペレス作成）
直交行列がベクトル空間のベクトルで乗算されると、等角変換、つまり距離を変更せず角度を保存する変換が生成されます。
直交行列の代表的なものは回転行列です。ベクトル空間上の直交行列の変換は、直交変換と呼ばれます。
デカルトベクトルで表される点の回転と反射の幾何学的変換は、元のベクトルに直交行列を適用して、変換されたベクトルの座標を取得することによって実行されます。このため、コンピュータグラフィックス処理では直交行列が広く使用されています。
プロパティ
行列Mは、その転置M Tを乗算すると、結果として単位行列Iを与えます。同様に、元の行列による直交行列の転置の積は、単位行列になります。
MM T = M T M = I
前のステートメントの結果として、直交行列の転置はその逆行列に等しいことがわかります：
M T = M -1 。
次元nxnの直交行列のセットは、直交グループO（n）を形成します。そして、行列式+1の直交行列のO（n）のサブセットは、ユニタリー特殊行列のグループSU（n）を形成します。グループSU（n）の行列は、回転の線形変換を生成する行列であり、回転のグループとも呼ばれます。
デモンストレーション
行ベクトル（または列ベクトル）が互いに直交し、ノルム1である場合にのみ、行列が直交であることを示します。
直交行列nxnの行が次元nのn個の正規直交ベクトルであると仮定します。これがv 1 、v 2 、…。で表される場合、n個のベクトルに対するV nは次のようになります。
実際、行ベクトルのセットは、ノルム1の直交ベクトルのセットであることは明らかです。
例
例1
最初の行にベクトルv1 =（-1 0）があり、2番目の行にベクトルv2 =（0 1）がある直交行列であることを示します。
解決策：行列Mが作成され、その転置M Tが計算されます。
この例では、行列Mは自己転置されます。つまり、行列とその転置は同一です。Mとその転置M Tを乗算します。
MM Tが単位行列に等しいことが検証されます。
行列Mにベクトルまたは点の座標が乗算されると、行列がベクトルまたは点に対して行う変換に対応する新しい座標が取得されます。
図1は、Mがベクトルuをu 'に変換する方法と、Mが青いポリゴンを赤いポリゴンに変換する方法を示しています。Mは直交なので、距離と角度を保持する直交変換になります。
例2
次の式で与えられる実数で定義された2 x 2行列があるとします。
行列Mが直交行列になるように、a、b、c、dの実際の値を見つけます。
解決策：定義により、行列の転置を掛け合わせると行列は直交し、単位行列が得られます。転置行列は元の行から取得され、列と行が交換されることを思い出して、次の等式が得られます：
私たちが持っている行列乗算を実行します：
左の行列の要素を右の単位行列の要素と等しくすると、4つの未知数a、b、c、dを含む4つの方程式のシステムが得られます。
a、b、c、およびdについて、正弦波と余弦波の三角比に関する次の式を提案します。
この提案では、基本的な三角関数の同一性により、行列要素の等式で最初と3番目の方程式が自動的に満たされます。3番目と4番目の方程式は同じであり、提案された値を代入した後の行列の等式は次のようになります。
これは次の解決策につながります：
最後に、直交行列Mについて次の解が得られます。
最初の解は行列式+1を持つため、グループSU（2）に属しますが、2番目の解は行列式-1を持つため、このグループには属しません。
例3
次の行列が与えられたら、aとbの値を見つけて、直交行列になるようにします。
解決策：与えられた行列が直交するためには、転置した積が恒等行列でなければなりません。次に、所定の行列と転置行列の行列積が実行され、次の結果が得られます。
次に、結果は3 x 3の単位行列と等しくなります。
2行目の3列目は（ab = 0）ですが、aをゼロにすることはできません。そうしないと、2行目と2列目の要素の等価性が満たされないためです。次に、必ずb = 0です。値0をbに置き換えます。
次に方程式が解かれます：2a ^ 2 = 1、その解は+½√2および-½√2です。
aの正の解を取ると、次の直交行列が得られます：
リーダーは、行ベクトル（および列ベクトル）が直交かつユニタリ、つまり正規直交であることを簡単に確認できます。
実施例4
行列ことを示すA、その行ベクトルであり、V1 =（0、-1 0） 、V2 =（1、0、0）と、V3 =（0 0 -1） 、直交行列です。さらに、ベクトルが正準基底i、j、kからベクトルu1、u2、u3に変換されることを確認します。
解決策：行列の要素（i、j）に転置を掛けたものが、転置の行（i）のベクトルと列（j）のベクトルのスカラー積であることを覚えておいてください。さらに、この積は、行列が直交である場合のクロネッカーデルタに等しくなります：
私たちの場合は次のようになります：
v1•v1 = 0x0 +（-1）x（-1）+ 0x0 = 1
v2•v2 = 1×1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3•v3 = 0x0 + 0x0 +（-1）x（-1）= 1
v1•v2 = 0x1 +（-1）x0 + 0x0 = 0
v2•v1 = 1×0 + 0x（-1）+ 0x0 = 0
v2•v3 = 1×0 + 0x（0）+ 0x（-1）= 0
v3•v2 = 0x1 + 0x（0）+（-1）x0 = 0
v1•v3 = 0x0 +（-1）x（0）+ 0x（-1）= 0
v3•v1 = 0x0 + 0x（-1）+（-1）x0 = 0
これにより、直交行列であることが示されます。
さらに、u1 = A i =（0、1、0）; u2 = A j =（- 1、0、0）、最後にu3 = A k =（0、0、-1）
参考文献
- Anthony Nicolaides（1994）行列式と行列。出版物を渡す。
- バーコフとマクレーン。（1980）。現代代数、エド。Vicens-Vives、マドリード。
- Casteleiro Villalba M.（2004）線形代数の紹介。ESIC社説。
- Dave Kirkby（2004）Maths Connect。ハイネマン。
- Jenny Olive（1998）Maths：A Student's Survival Guide。ケンブリッジ大学出版局。
- Richard J. Brown（2012）30-Second Maths：The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics。Ivy Press Limited。
- ウィキペディア。直交行列。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。直交行列。から回復：en.wikipedia.com