ディラック・ジョーダン原子モデルは、電子の量子波動関数を記述する式のハミルトニアン演算子の相対論的一般化です。前のモデルとは異なり、シュレディンガーのモデルとは異なり、パウリの排除原理を使用してスピンを強制する必要はありません。スピンが自然に現れるからです。
さらに、Dirac-Jordanモデルには、相対論的補正、スピン軌道相互作用、およびダーウィン項が組み込まれており、原子の電子レベルの微細構造を説明します。
図1.最初の3つのエネルギーレベルに対する水素原子の電子軌道。出典：ウィキメディア・コモンズ。
1928年に始まった科学者Paul AM Dirac（1902-1984）とPascual Jordan（1902-1980）は、シュレディンガーによって開発された量子力学を一般化し、アインシュタインの特別な相対性補正を含めました。
ディラックは、電子波動関数と呼ばれる関数で動作するハミルトニアンと呼ばれる微分演算子で構成されるシュレディンガー方程式から始まります。ただし、シュレディンガーは相対論的効果を考慮していなかった。
波動関数の解により、ある程度の確率で電子が核の周りに見つかる領域を計算できます。これらの領域またはゾーンは軌道と呼ばれ、電子のエネルギーと角運動量を定義する特定の離散量子数に依存します。
仮定する
量子力学の理論では、相対論的であろうとなかろうと、軌道の概念はありません。電子の位置も速度も同時に指定できないからです。さらに、一方の変数を指定すると、もう一方の変数が完全に不正確になります。
その部分では、ハミルトニアンは、量子波動関数に作用する数学演算子であり、電子のエネルギーから構築されます。たとえば、自由電子の総エネルギーEは、次のように線形運動量pに依存します。
E =（p 2）/ 2m
ハミルトニアンを構築するには、この式から始めて、運動量の量子演算子にpを代入します。
P = -iħ∂/∂ R
ことに注意することが重要であるPとP用語は最初のものは勢いであり、他は勢いに関連付けられた微分演算子であるため、異なっています。
さらに、iは虚数単位であり、ħPlanck定数を2πで割ったものです。このようにして、自由電子のハミルトニアン演算子Hが得られます。
H =（H 2 / 2M）∂ 2 /∂ R 2
原子内の電子のハミルトニアンを見つけるには、電子と原子核の相互作用を追加します。
H =（H 2 / 2M）∂ 2 /∂ R 2 - Eφ（R）
前の式では、-eは電子の電荷であり、Φ（r）は中心核によって生成される静電ポテンシャルです。
ここで、演算子Hは次のように書かれたシュレディンガー方程式に従って波動関数onに作用します。
Hψ=（iħ∂/∂t）ψ
ディラックの4つの仮説
最初の仮定：相対論的波動方程式はシュレディンガー波動方程式と同じ構造を持ち、変化するのはH：
Hψ=（iħ∂/∂t）ψ
2番目の仮説：ハミルトニアン演算子は、次のように記述されたアインシュタインのエネルギー運動量関係から始まります。
E =（m 2 c 4 + p 2 c 2）1/2
前の関係では、粒子の運動量がp = 0の場合、質量mの任意の粒子の静止時のエネルギーと光速cを関連付ける有名な方程式E = mc 2があります。
3番目の仮定：ハミルトニアン演算子を取得するために、シュレディンガー方程式で使用されているのと同じ量子化規則が使用されます。
P = -iħ∂/∂ R
当初、平方根内で作用するこの微分演算子の扱い方が明確ではなかったため、ディラックは運動量演算子で線形ハミルトニアン演算子を取得し、そこから4番目の仮説を立てました。
4番目の仮説：相対論的エネルギー式の平方根を取り除くために、ディラックはE 2について次の構造を提案しました。
もちろん、これが真になるためには、アルファ係数（α0、α1、α2、α3）を決定する必要があります。
ディラックの方程式
ディラック方程式はコンパクトな形で、世界で最も美しい数学方程式の1つと見なされています。
図2.コンパクト形式のディラック方程式。出典：F. Zapata。
そして、そのとき、定数アルファはスカラー量ではあり得ないことが明らかになります。4番目の仮定の等式が満たされる唯一の方法は、定数が4×4行列であることです。これは、ディラック行列として知られています。
波動関数はスカラー関数ではなくなり、スピノルと呼ばれる4つの成分を持つベクトルになることがすぐにわかります。
ディラック・ジョーダン原子
原子モデルを取得するには、自由電子の方程式から、原子核によって生成される電磁場内の電子の方程式に進む必要があります。この相互作用は、スカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAをハミルトニアンに組み込むことによって考慮されます。
このハミルトニアンを組み込んだ結果として生じる波動関数（スピノル）には、次の特性があります。
-電子の固有エネルギー（相対論的ハミルトニアンの第1項）を考慮するため、特別な相対論を満たす
-それはスピノルの4つのコンポーネントに対応する4つのソリューションを持っています
-最初の2つのソリューションは、1つはスピン+½に対応し、もう1つはスピン-½に対応します。
-最後に、他の2つのソリューションは、反物質の存在を予測します。これは、それらが反対のスピンを持つ陽電子のそれに対応するためです。
ディラック方程式の大きな利点は、基本的なシュレディンガーハミルトニアンH（o）の修正を、以下に示すいくつかの項に分解できることです。
前の式では、Vはスカラーポテンシャルです。これは、中心の陽子が静止していると想定される場合にベクトルポテンシャルAがゼロになるため、表示されないためです。
波動関数のシュレディンガー解に対するディラック補正が微妙である理由。これらは、修正されたハミルトニアンの最後の3つの項がすべて、光の2乗の速度cで割られたため、これらの項を数値的に小さくするという事実から生じます。
エネルギースペクトルに対する相対論的補正
ディラックジョーダン方程式を使用して、水素原子の電子のエネルギースペクトルに対する補正を求めます。おおよその形で複数の電子を持つ原子のエネルギーの補正は、摂動理論として知られている方法論によっても発見されます。
同様に、ディラックモデルにより、水素エネルギーレベルの微細構造補正を見つけることができます。
ただし、超微細構造やラムシフトなどのさらに微妙な補正は、ディラックモデルの寄与から正確に生まれた場の量子論などのより高度なモデルから得られます。
次の図は、エネルギーレベルに対するディラックの相対論的補正がどのように見えるかを示しています。
図3.水素原子のレベルに対するディラックモデルの修正。出典：ウィキメディア・コモンズ。
たとえば、ディラック方程式の解は、レベル2sで観測されたシフトを正しく予測します。これは、水素スペクトルのライマンアルファ線におけるよく知られた微細構造補正です（図3を参照）。
ちなみに、微細構造とは、原子物理学で原子の発光スペクトルの線を2倍にするために付けられた名前であり、電子スピンの直接的な結果です。
図4.水素原子の基底状態n = 1と最初の励起状態n = 2の微細構造分割。出典：R Wirnata。水素様原子に対する相対論的補正。Researchgate.net
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参考文献
- 原子論。wikipedia.orgから回復。
- 電子磁気モーメント。wikipedia.orgから回復。
- Quanta：コンセプトのハンドブック。（1974）。オックスフォード大学出版局。Wikipedia.orgから回復。
- ディラック・ジョーダンの原子モデル。prezi.comから回復。
- 新しい量子宇宙。ケンブリッジ大学出版局。Wikipedia.orgから回復。