オイラー数または数eは数学の数のπおよびその他の重要な数字とともに、多くの科学的、経済的なアプリケーションで頻繁に表示され、よく知られた数学定数です。
関数電卓は、数値eに対して次の値を返します。
図1.オイラーの数はサイエンスで頻繁に表示されます。出典：F. Zapata。
e = 2.718281828 …
しかし、もっと多くの小数が知られています、例えば：
e = 2.71828182845904523536…
そして、現代のコンピューターは、数eの数兆の小数点以下の桁を見つけました。
これは無理数です。つまり、パターンが繰り返されずに小数点以下の桁数が無限になります（シーケンス1828は最初に2回出現し、繰り返されません）。
また、2つの整数の商としてeを取得できないことも意味します。
歴史
数eは、複利の問題を研究していた1683年に科学者ジャックベルヌーイによって特定されましたが、以前は1618年頃に対数を発明したスコットランドの数学者ジョンネイピアの研究に間接的に現れていました。
しかし、1727年にレオンハルトオイラーに名前eを付け、その特性を集中的に研究しました。これがオイラー数として、また現在使用されている自然対数（指数）の自然底としても知られている理由です。
eの価値はどのくらいですか？
数eは価値があります：
e = 2.71828182845904523536…
省略記号は、小数点以下の桁数が無限であることを意味し、実際、今日のコンピューターでは数百万が知られています。
数eの表現
以下で説明するeを定義する方法はいくつかあります。
限界としての数e
数eが表現されるさまざまな方法の1つは、科学者ベルヌーイが複利に関する彼の研究で見つけたものです。
ここで、値nを非常に大きな数にする必要があります。
電卓を使用すると、nが非常に大きい場合、前の式が上記のeの値になる傾向があることを簡単に確認できます。
もちろん、どのように大きなnを作成できるかを自問することもできるので、たとえば次のような数値を試してみましょう。
n = 1000; 10,000または100,000
最初のケースでは、e = 2.7169239…を取得します。2番目のe = 2.7181459…で、3番目のeは2.7182682の値に非常に近くなっています。n = 1,000,000以上の場合、近似はさらに良くなると既に想像できます。
数学言語では、nを非常に大きな値にますます近づける手順は、無限大の限界と呼ばれ、次のように表されます。
無限を表すために、記号「∞」が使用されます。
合計としての数e
この操作により、数値eを定義することもできます。
分母に表示される数字：1、2、6、24、120…は、操作n！に対応します。ここで、
そして定義により0！= 1。
追加される加数が多いほど、より正確にeに到達することを確認するのは簡単です。
計算機を使用していくつかのテストを行い、加数をさらに追加してみましょう。
1 +1+（1/2）+（1/6）= 2.71667
1 +1+（1/2）+（1/6）+（1/24）= 2.75833
1 +1+（1/2）+（1/6）+（1/24）+（1/120）= 2.76667
1 +1+（1/2）+（1/6）+（1/24）+（1/120）+（1/720）= 2.71806
合計に追加される項が多いほど、結果はeに類似します。
数学者は、合計記号Σを使用して、多くの項を含むこれらの合計のコンパクトな表記法を考案しました。
この式は、「n = 0からn階乗の間に1の無限大までの合計」のように読み取られます。
幾何学的な観点から見た数e
数値eには、曲線のグラフの下の領域に関連するグラフィック表現があります。
y = 1 / x
次の図に示すように、xの値が1とeの間の場合、この領域は1に等しくなります。
図2.数値eのグラフィック表示：x = 1とx = eの間の1 / x曲線の下の領域は1の価値があります。出典：F. Zapata。
数eの性質
数eのいくつかのプロパティは次のとおりです。
-それは不合理です。つまり、2つの整数を単に除算するだけでは取得できません。
-数値eも超越数値です。つまり、eは多項式の解ではありません。
-オイラー恒等式を通じて、数学の分野で他の4つの有名な数値、つまり、π、i、1、0に関連しています。
-いわゆる複素数はeで表すことができます。
-それは現在の自然または自然対数の基礎を構成します（John Napierの元の定義は少し異なります）。
-自然対数が1になる唯一の数値です。
用途
統計学
数eは、確率と統計の分野で非常に頻繁に出現し、正規分布やガウス分布、ポアソン分布など、さまざまな分布で出現します。
エンジニアリング
工学では、指数関数y = e xが力学や電磁気学などに存在するため、頻繁に発生します。言及できる多くのアプリケーションの中で：
-両端で保持された状態で垂れ下がるケーブルまたはチェーンは、以下によって与えられる曲線の形状を採用します。
y =（e x + e -x）/ 2
-抵抗Rと電圧源Vに直列に接続されて充電される、最初に放電されたコンデンサCは、次の式で与えられる時間tの関数として特定の電荷Qを取得します。
Q（t）= CV（1-e -t / RC）
生物学
指数関数y = Ae Bxは、AおよびB定数で、細胞増殖と細菌増殖のモデル化に使用されます。
物理的
核物理学では、放射性崩壊と年代測定は放射性炭素年代測定によってモデル化されます。
経済
複利計算では、eという数字が自然に発生します。
年間i％の利率で投資するための一定の金額P oがあるとします。
1年間お金を残しておくと、その後は次のようになります。
触れずに1年経過すると、次のようになります。
そして、n年間このように続けます：
ここで、eの定義の1つを思い出してみましょう。
Pの式に少し似ているので、関係があるはずです。
名目金利iをn期間に分配します。このようにして、複利金利はi / nになります。
この式は制限に少し似ていますが、まったく同じではありません。
ただし、代数的操作を行った後、この変数を変更することで、次のことを示すことができます。
私たちのお金Pは次のようになります：
そして、中括弧の間にあるものは、それが文字hで書かれていても、数eを定義する制限の引数に等しく、制限のみが欠落しています。
h→∞としましょう。中括弧の間にあるものがeになります。これは、私たちがお金を引き出すために無限に長い時間待たなければならないという意味ではありません。
よく見てみると、h = n / iにして∞にする傾向があるため、実際に行ったのは、非常に短い期間に金利を分散することです。
i = n / h
これは連続配合と呼ばれます。このような場合、金額は次のように簡単に計算されます。
ここで、iは年利です。たとえば、継続的な資本化を通じて、年額9％で12ユーロを預金する場合、1年後、次のようになります。
€1.13の利益。
参考文献
- 数学をお楽しみください。複利：定期的な構成。回復元：enjoylasmatematicas.com。
- フィゲラ、J。2000。数学1位。多様化。CO-BOエディション。
- ガルシア、M。初等計算におけるe。matematica.ciens.ucv.veから回復。
- ヒメネス、R。2008。代数。プレンティスホール。
- ラーソン、R。2010。変数の計算。9日。版。マグローヒル。