整数：プロパティ、例、演習 - 数学 - 2025

整数は、オブジェクトの完全持てる者をカウントしていないために便利な数字のセットです。また、特定の参照場所の片側と反対側にいる人を数えることもできます。

また、整数を使用すると、ある数値とそれよりも大きい数値との差または差を実行できます。結果は、たとえば借金として決済されます。収益と負債の区別は、それぞれ+と-記号で行われます。

図1.整数の数直線。出典：ウィキメディア・コモンズ。Leomg / CC BY-SA（https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0）。

したがって、整数のセットには次のものが含まれます。

-正の整数。これは+記号の前に、または単に符号なしで記述されます。これは、それらが正であることも理解されているためです。例：+ 1、+ 2、+ 3…など。

-ある量からそれを引くためにそれを加えることは重要ではないので、符号は無関係である0。しかし、それは整数の参照であるため、0は非常に重要です。図1に示すように、片側は正、もう一方は負です。

-負の整数。これは常に符号の前に記述する必要があります-負債などの金額と参照の反対側にあるすべての金額が区別されるためです。負の整数の例は、-1、-2、-3…以降です。

整数はどのように表されますか？

初めに、Z = {…-4、-3、-2、-1、0、+1、+2、+3、+ 4…}、つまりリスト表記で整数を表します。組織された。しかし、非常に便利な表現は、数直線によって使用されるものです。これには、0がマークされ、同一のセクションに分割された、通常は水平な線を描く必要があります。

図2.数直線上の整数の表現。0から右は正の整数、0から左は負の整数です。出典：F. Zapata。

マイナスは0の左側に、プラスは右側に移動します。数直線上の矢印は、数が無限に続くことを象徴しています。任意の整数を指定すると、常に、大きい整数または小さい整数を見つけることができます。

整数の絶対値

整数の絶対値は、数値と0の間の距離です。距離は常に正です。したがって、負の整数の絶対値は、マイナス符号なしの数値です。

たとえば、-5の絶対値は5です。絶対値は次のようにバーで表されます。

--5- = 5

視覚化するには、数直線上のスペースを-5から0まで数えます。正の整数の絶対値は同じ数値ですが、たとえば-+ 3- = 3ですが、0からの距離は3つのスペース：

図3.整数の絶対値は常に正の量です。出典：F. Zapata。

プロパティ

-整数のセットはZで示され、自然数Nのセットを含み、その要素は無限です。

-整数とそれに続く（またはそれに続く）は常に1で区別されます。たとえば、5の後は6になり、1はそれらの差です。

-すべての整数には、先行と後続があります。

-正の整数はすべて0より大きい。

-負の整数は常に0未満で、正の数です。たとえば、数値-100を考えてみます。これは、2未満、10、50未満です。ただし、-10、-20、-99未満であり、-200を超えています。

-0は負でも正でもないため、符号に関する考慮事項はありません。

-整数を使用すると、自然数と同じ操作を実行できます。つまり、加算、減算、乗算、エンパワーメントなどです。

-特定の整数xの反対の整数は–xであり、反対の整数の合計は0です。

x +（-x）= 0。

整数の操作

-合計

-追加される数値が同じ符号を持つ場合、それらの絶対値が加算され、結果は加数が持つ符号とともに配置されます。ここではいくつかの例を示します。

a）（+8）+（+9）= 8 + 9 = +17

b）（-12）+（-10）=-（12 + 10）= -22

-数値が異なる符号である場合、絶対値が減算され（最小値から最大値）、結果は次のように絶対値が最大の数値の符号で配置されます。

a）（-8）+（21）= 21-8 = 13

b）（-9）+（+4）=-（9-4）= -5

整数の合計のプロパティ

-合計は可換であるため、加数の順序は合計を変更しません。aとbを2つの整数とすると、a + b = b + a

-0は整数の合計の中立要素です：a + 0 = a

-その反対に追加される整数は0です。+ aの反対は–aで、逆に–aの反対は+ aです。したがって：（+ a）+（-a）= 0。

図2.整数を加算するための符号の規則。出典：ウィキメディア・コモンズ。

-減算

整数を減算するには、次のルールに従います。減算は、反対の数値を加算することと同じです。aとbを2つの数値とすると、次のようになります。

a-b = a +（-b）

たとえば、次の操作を行う必要があるとします：（-3）-（+7）次に、

（-3）-（+7）=（-3）+（-7）=-（3 + 7）= -10

-乗算

整数の乗算は、符号に関する特定の規則に従います。

-同じ符号を持つ2つの数値の積は常に正です。

-符号の異なる2つの数値を乗算すると、結果は常に負になります。

-積の値は、それぞれの絶対値を乗算したものと同じです。

上記を明確にするいくつかの例：

（-5）x（+8）=-5 x 8 = -40

（-10）x（-12）= 10 x 12 = 120

（+4）x（+32）= 4 x 32 = 128

整数の乗算のプロパティ

-乗算は可換です。aとbを2つの整数とすると、次のようになります。

-乗算の中立要素は1です。aを整数とすると、a.1 = 1になります。

-0を掛けた整数は0に等しい：a.0 = 0

分配財産

乗算は、加算に関する分配特性に準拠しています。a、b、cが整数の場合：

a。（b + c）= ab + ac

このプロパティを適用する方法の例を次に示します。

（-3）。=（-3）。（-4）+（-3）.11 = 12-33 = 12 +（-33）= -21

エンパワーメント

-底が正の場合、演算の結果は常に正になります。

-底が負の場合、指数が偶数であれば結果は正になります。指数が奇数の場合、結果は負になります。

-部門

除算にも乗算と同じ符号規則が適用されます。

-同じ符号の2つの整数を除算すると、結果は常に正になります。

-符号が異なる2つの整数を除算すると、商は負になります。

例えば：

（-12）÷（-4）= 3

33÷（-3）= -11

重要：除算は可換ではありません。つまり、a÷b≠b÷aであり、いつものように、0による除算は許可されていません。

-エンパワーメント

aを整数にして、指数nに上げたい場合、次に示すように、aをn倍する必要があります。

a ⁿ = aaaa….. .a

nが自然数であることを考慮して、次のことも考慮してください。

-aが負でnが偶数の場合、結果は正になります。

-aが負でnが奇数の場合、結果は負の数になります。

-aが正でnが偶数または奇数の場合、常に正の整数になります。

-0に上げられた整数はすべて1に等しい：a ⁰ = 1

-1に上げられた任意の数は、その数と同じです：a ¹ = a

たとえば、（– 3）⁴を見つけたいとしましょう。これを行うには、次のように（-3）を4倍します：（–3）。（-3）。（-3）。（-3）= 81。

負の整数を使用する別の例は次のとおりです。

（-2）³ =（-2）（-2）（-2）= -8

等しい底の力の積

等しい底の2つの累乗を仮定します。それらを乗算すると、同じ底を持つ別の累乗が得られます。その指数は、指定された指数の合計です。

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

等しい基本べき指数

等しい底の累乗を除算すると、結果は同じ底の累乗となり、その指数は与えられた指数の減算です。

a ⁿ ÷a ^m = a ^n-m

これらの点を明確にする2つの例を次に示します。

（-2）^3.（-2）⁵ = （-2 ）^{3 + 5} =（-2）⁸

5 ⁶ ÷5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

例

これらのルールを適用する簡単な例を見てみましょう。正の整数の場合、符号は不要です。

a）（+6）+（+14）= 6 + 14 = 20

b）（-8）+（-10）=-（8 + 10）= -18

c）（-16）+（+7）=-16 + 7 = -9

d）（+4）+（-8）+（-25）= +（-25）= -25 = -4-25 = -29

e）（-8）-（+15）=（-8）+（-15）= -8-15 = -23

f）（+3）x（+9）= 3 x 9 = 27

g）（-4）x（-11）= 4 x 11 = 44

h）（+5）x（-12）=-5 x 12 = -60

i）（-2）³ =（-2）x（-2）x（-2）=-8

解決された演習

-演習1

アリは図1の数直線に沿って移動します。点x = +3から開始して、次の移動を行います。

-7ユニット右に移動

-左に5ユニット戻ります

左に3ユニット歩く。

-彼は戻って4ユニット右に移動します。

ツアー終了時のアリはいつですか？

解決

変位をDとしましょう。右にある場合は正の符号が与えられ、左にある場合は負の符号が与えられます。このようにして、x = +3から始めると、次のようになります。

-最初のD：x ₁ = +3 + 7 = +10

-2番目のD：x ₂ = +10 +（-5）= +5

-サードD：x ₃ = +5 +（-3）= +2

-D会場：x ₄ = +2 + 4 = +6

アリが歩き終えると、アリは位置x = +6になります。つまり、数直線の0の右側に6単位あります。

-演習2

次の操作を解決します。

{36 +}。{-+ 2（-8 + 6）]}

解決

この操作には、かっこ、角かっこ、および中かっこであるグループ化記号が含まれます。解決するときは、最初に括弧、次に大括弧、最後に中括弧に注意する必要があります。つまり、内側から外側に向かって作業する必要があります。

この演習では、ポイントは乗算を表しますが、数値と括弧または別の記号の間にポイントがない場合、それは積でもあると理解されます。

段階的な解決策の下では、色は、最も内側のグループ化シンボルである括弧を減らした結果をたどるガイドとして機能します。

{36 +}。{-+ 2（-8 + 6）]} =

= {36 +}。{-+ 2（-2）]} =

= {36 +}。{-4]} =

= {52}。{1- 4]} = {52}。{-3} = -156

-演習3

1次方程式を解く：

12 + x = 30 + 3x

解決

項は、等式の左側に未知数、右側に数値項でグループ化されています。

x-3x = 30-12

-2x = 18

x = 18 /（-2）

x =-9

参考文献

1. ケアナ、M。2019。大学入学前数学マニュアル。リトラル国立大学。
2. Figuera、J。2000。7年生の数学。CO-BOエディション。
3. ホフマン、J。2005。数学のトピックの選択。モンフォート出版物。
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