素数も絶対素数と呼ばれるが、それ自体と1だけで2、3、5、7、11、13、17、19、23、多くのように、このカテゴリの数割り切れるもの自然数でありますプラス。
代わりに、複合数はそれ自体、1、および少なくとも1つの他の数で割り切れます。たとえば、1、2、4、6、12で割り切れる12があります。慣例により、1は素数のリストまたは化合物のリストには含まれていません。
図1.いくつかの素数。出典：ウィキメディア・コモンズ。
素数の知識は古代にまでさかのぼります。古代エジプト人はすでにそれらを使用しており、それらは確かにずっと以前から知られていました。
自然数は素数の積で表すことができるため、これらの数値は非常に重要です。この表現は、因子の順序を除いて一意です。
この事実は、算数の基本定理と呼ばれる定理で完全に確立されており、素数ではない数は必然的に数の積で構成されると述べています。
素数の特徴
素数の主な特徴は次のとおりです。
-それらは無限大です。素数がいくつあっても、いつでも大きいものを見つけることができます。
-素数pが別の数aを正確に除算しない場合、pとaは互いに素であると言います。これが発生した場合、両方に共通する除数は1のみです。
aが絶対的な素数である必要はありません。たとえば、5は素数で、12は素数ではありませんが、両方の数値は互いに素数です。これは、どちらも共通の除数として1を持っているためです。
-素数pがnの累乗を除算すると、nも除算されます。100を考えてみましょう。これは10の累乗、具体的には10 2です。2は100と10の両方を割ります。
-2を除いてすべての素数は奇数です。したがって、最後の桁は1、3、7、または9です。5は含まれていません。実際、5で終わるすべての数はこれの倍数であるため、素数ではありません。
-pが2つの数値abの積の素数および約数である場合、pはそれらの1つを除算します。たとえば、3は9の約数なので、素数3は積9 x 11 = 99を割ります。
数が素数かどうかを知る方法
素数性は素数であることの品質に与えられた名前です。まあ、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマー（1601-1665）は、フェルマーのいわゆる小さな定理で、数の素数性を検証する方法を見つけました。
「素数自然数pと0より大きい任意の自然数を考えると、pが素数である限り、p -aがpの倍数であることは事実です。
これを小さい数値を使用して確認できます。たとえば、p = 4が素数ではなく、すでに= 6であることがわかっているとします。
6 4 - = 1296 6 - = 1290 6
1290という数値は、4で正確に割り切れないため、4は素数ではありません。
ここで、p = 5でテストを実行してみましょう。これは素数であり、ya = 6です。
6 5 - = 7766 6 - = 7760 6
7760は5で割り切れるので、0または5で終わる数値はすべて割り切れます。実際には7760/5 =1554。フェルマーの小さな定理が成り立つので、5が素数であることを確認できます。
定理による証明は効果的で、操作が実行しやすい小さな数で直接的なものですが、大きな数の素数を見つけるように求められたらどうしますか？
その場合、正確な除算が見つかるか、商が除数より小さくなるまで、数はすべての小さい素数の間で連続的に除算されます。
いずれかの除算が正確である場合、それは数が複合であることを意味し、商が除数よりも小さい場合、それは数が素数であることを意味します。解答演習2で実践します。
素数を見つける方法
無限の数の素数があり、それらを決定する単一の公式はありません。ただし、次のような素数を見てください。
3、7、31、127 …
それらが2 n -1の形式であり、n = 2、3、5、7、9であることが観察されます…これを確認します。
2 2-1 = 4-1 = 3 ; 2 3-1 = 8-1 = 7 ; 2 5-1 = 32-1 = 31 ; 2 7 - = 128 1 - 1 = 127
しかし、一般的に2 n -1が素数であることを保証することはできません。これは、機能しないnの値がいくつかあるためです（例：4）。
2 4-1 = 16-1 = 15
また、15は5で終わるため、素数ではありません。ただし、コンピューター計算で見つかった最大の既知の素数の1つは、次の2 n -1の形式です。
n = 57,885,161
メルセンヌの公式は、pも素数である限り、2 p -1が常に素数であることを保証します。たとえば、31は素数なので、2 31-1も素数であることが確実です。
2 31 - 1 = 2,147,483,647
ただし、式ではすべてではなく一部の素数のみを決定できます。
オイラーの公式
次の多項式では、nが0から39の間であれば、素数を見つけることができます。
P（n）= n 2 + n + 41
解決済みの演習セクションの後半には、その使用例があります。
エラトステネスのふるい
エラトステネスは、紀元前3世紀に住んでいた古代ギリシャの物理学者であり数学者でした。彼は、私たちが小さな数で実践できる素数を見つけるグラフィカルな方法を考案しました。
-数字はアニメーションに示されているようなテーブルに配置されます。
-素数であることがわかっている2を除いて、偶数に取り消し線が引かれます。他のすべてはこれの倍数であるため、素数ではありません。
-3、5、7、11の倍数もマークされています。これらは素数であるため、すべてを除外しています。
-4、6、8、9、10の倍数はすでにマークされています。これらは複合であり、したがって示された素数のいくつかの倍数であるためです。
-最後に、マークされていないままの数は素数です。
図2. Eratosthenesふるいのアニメーション。出典：ウィキメディア・コモンズ。
演習
-演習1
素数にオイラー多項式を使用して、100より大きい3つの数を見つけます。
解決
これは、オイラーが素数を見つけることを提案した多項式で、0から39までのnの値に対して機能します。
P（n）= n 2 + n + 41
試行錯誤により、nの値、たとえばn = 8を選択します。
P（8）= 8 2 + 8 + 41 = 113
n = 8は100より大きい素数を生成するため、n = 9およびn = 10の多項式を評価します。
P（9）= 9 2 + 9 + 41 = 131
P（10）= 10 2 + 10 + 41 = 151
-演習2
次の数値が素数であるかどうかを調べます。
a）13
b）191
への解決策
13は、フェルマーの小さな定理と計算機の助けを使用するのに十分小さいです。
a = 2を使用して、数値が大きくなりすぎないようにしますが、a = 3、4、または5も使用できます。
2 13 - = 8190 2
8190は偶数なので2で割り切れるので、13が素数です。読者は、a = 3で同じテストを行うことでこれを裏付けることができます。
ソリューションb
191は定理と一般的な計算機で証明するには大きすぎますが、各素数の間の除算を見つけることができます。191は偶数ではなく、除算は正確ではないか、商が2未満であるため、2による除算を省略します。
3で割ろうとします。
191/3 = 63,666 …
そして、それは正確なものではなく、商も除数よりも少ない（63,666…は3よりも大きい）
このようにして、191を素数5、7、11、13で除算することを試み、正確な除算が達成されず、また除数よりも小さい商も得られません。17で割るまで：
191/17 = 11、2352 …
正確ではなく、11.2352…は17未満なので、191は素数です。
参考文献
- Baldor、A。1986。算術。エディションとディストリビューションコーデックス。
- プリエト、C。素数。リカバリ先：paginas.matem.unam.mx。
- 素数のプロパティ。から回復：mae.ufl.edu。
- Smartick。素数：エラトステネスのふるいでそれらを見つける方法。回復元：smartick.es。
- ウィキペディア。素数。回復元：es.wikipedia.org。