超越数はできないものであることのようにして得られた多項式の結果。超越数の反対は代数的数であり、次のタイプの多項式の解です。
a n x n + a n-1 x n-1 +……+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0
ここで、係数a n、a n-1、….. a 2、a 1、a 0は、多項式の係数と呼ばれる有理数です。数値xが前の方程式の解である場合、その数値は超越ではありません。
図1.科学で非常に重要な2つの数は、超越数です。ソース：publicdomainpictures.net。
いくつかの数値を分析し、それらが超越的であるかどうかを確認します。
a）3はx-3 = 0の解であるため、超越ではありません。
b）-2はx + 2 = 0の解であるため、超越にすることはできません。
c）⅓は3x-1 = 0の解です
D）X方程式の解2 - 2X + 1 = 0√2-1、定義によって数は超越されないようになります。
それは、式Xの結果であるため、E）どちら√2ではない2が2がゼロに等しいから減算2、もたらす√2二乗し2 = 0 - 。したがって、√2は無理数ですが、超越的ではありません。
超越数とは何ですか？
問題は、それらを取得する一般的な規則がないことです（後で説明します）が、最も有名なものには、πとeでそれぞれ表されるpiとNeper数があります。
数π
円の周長Pとその直径Dの間の数学的商が、小さな円か大きな円かに関係なく、常にpiと呼ばれる同じ数を与えることを観察すると、数πは自然に現れます。
π= P / D≈3.14159……
これは、図2のアニメーションでわかるように、円周の直径を測定の単位として使用する場合、それらすべての大小を問わず、外周は常にP = 3.14…=πになることを意味します。
図2.円の周囲の長さは、piに直径の長さを掛けたもので、piは約3.1416です。
より多くの小数を決定するには、より正確にPとDを測定してから、数学的に行われた商を計算する必要があります。結論としては、商の小数には終わりがなく、繰り返されないため、超越的であることに加えて、数πも不合理です。
無理数は、2つの整数の除算として表現できない数です。
すべての超越数が無理であることは知られていますが、すべての無理数が超越であるとは限りません。たとえば、√2は不合理ですが、超越的ではありません。
図3.超越数は不合理ですが、その逆は成り立ちません。
数e
超越数eは自然対数の底であり、その10進近似は次のとおりです。
≈2.718281828459045235360…。
数値eを正確に記述したい場合、前述のように、すべての超越数は無理なので、無限小数を記述する必要があります。
eの最初の10桁は覚えやすいです。
2,7 1828 1828そして繰り返しのパターンをたどっているように見えますが、これは9を超える桁の小数では達成されません。
eのより正式な定義は次のとおりです。
これは、自然数nが無限大になる傾向があるときに、この式で示される演算を実行することによってeの正確な値が得られることを意味します。
これは、nの数がいくつあっても、常により大きなnを見つけることができるため、eの近似しか得られない理由を説明しています。
私たち自身でいくつかの近似を探しましょう：
-n = 100の場合、（1 + 1/100）100 = 2.70481。最初の10進数ではeの「真の」値とほとんど一致しません。
-n = 10,000を選択した場合、（1 + 1 / 10,000）10,000 = 2,71815となります。これは、最初の3桁のeの「正確な」値と一致します。
このプロセスは、eの「真の」値を取得するために無限に続く必要があります。時間はないと思いますが、もう1つ試してみましょう。
n = 100,000を使用しましょう：
（1 + 1 / 100,000）100,000 = 2.7182682372
正確と見なされる値に一致する小数点以下の桁数は4つだけです。
重要なことは、e nを計算するために選択されたnの値が高いほど、真の値に近くなることを理解することです。しかし、その真の値は、nが無限大の場合にのみ存在します。
図4. nの値が大きくなるほどeに近づくが、正確な値nに到達するには無限大でなければならないことがグラフで示されています。
その他の重要な数字
これらの有名な数字とは別に、他の超越的な数字があります。例えば：
- 2 √2
-10を基数とするChampernowne数：
C_10 = 0.123456789101112131415161718192021…。
-基数2のChampernowne数：
C_2 = 0.1101110010110111…。
-ガンマ数γまたはオイラー・マスケローニ定数：
γ≈0.577 215 664 901 532 860 606
これは、次の計算を行うことによって得られます。
γ≈1 +½+⅓+¼+…+ 1 / n-ln（n）
nが非常に大きい場合。ガンマ数の正確な値を得るには、n無限大で計算を行う必要があります。上記で行ったことに似たもの。
そして、さらに多くの超越数があります。ロシアで生まれ、1845年から1918年の間に住んでいた偉大な数学者ゲオルクカントールは、超越数のセットが代数的数のセットよりもはるかに大きいことを示しました。
超越数πが現れる公式
円周の外周
P =πD = 2πR、ここでPは周長、Dは直径、Rは円周の半径です。次のことを覚えておいてください。
-円周の直径は、同じものの2つの点を結合し、常にその中心を通過する最も長いセグメントです。
-半径は直径の半分であり、中心から端までのセグメントです。
円の面積
A =πR 2 =¼πD 2
球の表面
S = 4πR 2。
そうかもしれませんが、球の表面は、球と同じ半径の4つの円の表面と同じです。
球の体積
V = 4/3πR 3
演習
-演習1
「EXÓTICA」ピッツェリアは、3つの直径のピザを販売しています。小30 cm、中37 cm、大45 cm。男の子はとてもお腹がすいていて、2つの小さなピザは1つの大きなピザと同じ価格であることに気付きました。小さなピザを2つ買うか、大きなピザを1つ買うか、彼にとって何が良いでしょうか？
図5.-ピザの面積は半径の2乗に比例し、piは比例定数です。出典：Pixabay。
解決
面積が大きいほど、ピザの量が多くなります。このため、大きなピザの面積が計算され、2つの小さなピザの面積と比較されます。
大きいピザの面積=¼πD 2 =¼⋅3.1416⋅45 2 = 1590.44センチメートル2
小さなピザの面積=¼πD 2 =¼⋅3.1416⋅30 2 = 706.86センチメートル2
したがって、2つの小さなピザの面積は
2 x 706.86 = 1413.72 cm 2。
それは明らかです：あなたは2つの小さなものよりも1つの大きなものを買うより多くのピザを持っているでしょう。
-演習2
「EXÓTICA」ピッツェリアは、半径30 cmの半球形のピザも販売しています。価格は、片側が30 x 40 cmの長方形のピザと同じです。どれを選びますか？
図6.-半球の表面は、ベースの円形表面の2倍です。出典：F. Zapata。
解決
前のセクションで述べたように、球の表面は同じ直径の円の4倍であるため、直径30 cmの半球は次のようになります。
30 cmの半球形ピザ：1413.72 cm 2（同じ直径の円形の2倍）
長方形のピザ：（30 cm）x（40 cm）= 1200 cm 2。
半球形のピザの面積が大きくなっています。
参考文献
- フェルナンデスJ.番号e。起源と好奇心。回収元：soymatematicas.com
- 数学をお楽しみください。オイラー数。回復元：enjoylasmatematicas.com。
- フィゲラ、J。2000。数学1位。多様化。CO-BOエディション。
- ガルシア、M。初等計算におけるe。matematica.ciens.ucv.veから回復。
- ウィキペディア。PI番号。回復元：wikipedia.com
- ウィキペディア。超越数。回復元：wikipedia.com