注目すべき製品は、伝統的に解決する必要はありませんが、一定のルールの助けを借りて、同じ結果を見つけることができる多項式の乗算が発現される代数演算、です。
多項式はyesで乗算されます。そのため、それらには多数の項と変数がある可能性があります。プロセスを短くするために、用語ごとに移動することなく乗算を可能にする注目すべき製品ルールが使用されます。
注目の製品と例
注目すべき各製品は、因子と呼ばれる2項式や3項式など、いくつかの項の多項式で構成される因数分解から得られる式です。
因子は力の基礎であり、指数があります。係数を乗算するときは、指数を追加する必要があります。
いくつかの注目すべき製品の公式があり、多項式に応じて、いくつかは他よりもよく使用されます。それらは次のとおりです。
二項平方
これは、二項式をそれ自体で乗算したもので、指数として表され、項が加算または減算されます。
に。二乗二項式：最初の項の二乗、項の積の2倍に2番目の項の二乗を加えたものに等しい。次のように表されます。
（a + b）2 =（a + b）*（a + b）。
次の図では、前述のルールに従って製品がどのように開発されるかを確認できます。結果は完全な四角形の三項と呼ばれます。
例1
（x + 5）²=x²+ 2（x * 5）+5²
（x + 5）²=x²+ 2（5x）+ 25
（x + 5）²=x²+ 10x + 25。
例2
（4a + 2b）=（4a）2 + 2（4a * 2b）+（2b）2
（4a + 2b）= 8a 2 + 2（8ab）+ 4b 2
（4a + 2b）= 8a 2 + 16 ab + 4b 2。
b。二乗減算の二項：合計の二項の同じルールが適用されます。この場合のみ、2番目の項は負になります。その式は次のとおりです。
（a-b）2 = 2
（a-b）2 = a 2 + 2a *（-b）+（-b）2
（ - b）は2 = 2 2AB + B - 2。
例1
（2X - 6）2 =（2X）2 - 2（2× * 6）+ 6 2
（2X - 6）2 = 4X 2 - 2（12X）+ 36
（2X - 6）2 = 4X 2 - 24X + 36。
共役二項式の積
2つの2項は、それぞれの2番目の項の符号が異なる場合、つまり最初の項が正で2番目の項が負、またはその逆の場合に共役になります。これは、各単項式を二乗して減算することで解決されます。その式は次のとおりです。
（a + b）*（a-b）
次の図では、2つの共役二項式の積が展開され、結果は二乗の差であることが観察されています。
例1
（2a + 3b）（2a-3b）= 4a 2 +（-6ab）+（6 ab）+（-9b 2）
（2A + 3B）（2A - 3B）= 4A 2 - 9B 2。
共通の用語を持つ2つの2項の積
これは、共通の用語を持つ2つの二項式の乗算であるため、最も複雑でほとんど使用されない注目すべき製品の1つです。ルールは次のように述べています。
- 共通用語の2乗。
- 加えて、一般的ではない用語を合計し、それらに一般的な用語を掛けます。
- 加えて、一般的ではない用語の乗算の合計。
これは、式（x + a）*（x + b）で表され、画像に示すように展開されます。結果は、不完全な二乗3項になります。
（x + 6）*（x + 9）= x 2 +（6 + 9）* x +（6 * 9）
（x + 6）*（x + 9）= x 2 + 15x + 54。
2番目の項（別の項）が負である可能性があり、その式は次のとおりです：（x + a）*（x-b）。
例2
（7x + 4）*（7x-2）=（7x * 7x）+（4-2）* 7x +（4 * -2）
（7x + 4）*（7x-2）= 49x 2 +（2）* 7x-8
（7x + 4）*（7x-2）= 49x 2 + 14x-8。
また、両方の異なる項が否定的である場合もあります。その式は次のようになります：（x-a）*（x-b）。
例3
（3b-6）*（3b-5）=（3b * 3b）+（- 6-5）*（3b）+（-6 * -5）
（3b-6）*（3b-5）= 9b 2 +（-11）*（3b）+（30）
（3B - 6）*（3B - 5）= 9（b）2 - 33B + 30。
二乗多項式
この場合、3つ以上の項があり、それを発展させるために、各項は2乗され、1つの項と別の項の2倍の乗算で加算されます。その式は（a + b + c）2で、演算の結果は2乗3項になります。
例1
（3x + 2y + 4z）2 =（3x）2 +（2y）2 +（4z）2 + 2（6xy + 12xz + 8yz）
（3x + 2y + 4z）2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz。
二項三乗
非常に複雑な製品です。それを発展させるために、二項式は次のようにその二乗で乗算されます：
に。和の二項三乗の場合：
- 第1項の立方体に、第1項の2乗の3倍を加えたもの。
- さらに、最初の項の3倍、2番目の2乗の2乗。
- プラス第2期の立方体。
（a + b）3 =（a + b）*（a + b）2
（a + b）3 =（a + b）*（a 2 + 2ab + b 2）
（a + b）3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
（a + b）3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3。
例1
（a + 3）3 = a 3 + 3（a）2 *（3）+ 3（a）*（3）2 +（3）3
（a + 3）3 = a 3 + 3（a）2 *（3）+ 3（a）*（9）+ 27
（a + 3）3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27。
b。減算の二項三乗の場合：
- 最初の項の3乗から、最初の項の2乗の3倍を引いたもの。
- さらに、最初の項の3倍、2番目の2乗の2乗。
- 第2項の立方体をマイナスします。
（a-b）3 =（a-b）*（a-b）2
（ - B）3 =（ - B）*（2 - 2AB + B 2）
（AB）3 = 3 - 2A 2 B + AB 2 - BA 2 + 2AB 2 - B 3
（ - B）3 = 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - 、B 3。
例2
（b-5）3 = b 3 + 3（b）2 *（-5）+ 3（b）*（-5）2 +（-5）3
（b-5）3 = b 3 + 3（b）2 *（-5）+ 3（b）*（25）-125
（B - 5）3 = B 3 - 15B 2 + 75B - 125。
三項式の立方体
それは、それをその正方形で乗算することによって開発されます。3項を3乗し、さらに各項の3乗を2乗し、各項を乗算し、さらに3項の積を6倍したものであるため、非常に注目に値する製品です。より良い見方：
（a + b + c）3 =（a + b + c）*（a + b + c）2
（a + b + c）3 =（a + b + c）*（a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc）
（a + b + c）3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc。
例1
注目の製品の解決された演習
演習1
次の2項3乗を展開します：（4x-6）3。
解決
二項の3乗は、最初の項の3乗から、最初の項の2乗の2倍を引いたものを引いたものに等しいことに注意してください。プラス第1項のトリプル、第2乗の2乗、第2項のキューブのマイナス。
（4X - 6）3 =（4×）3 - 3（4X）2（6）+ 3（4×）*（6）2 - （6）2
（4X - 6）3 = 64X 3 - 3（16X 2）（6）+ 3（4×）*（36） - 36
（4X - 6）3 = 64X 3 - 288x 2 + 432x - 36。
演習2
次の二項式を作成します：（x + 3）（x + 8）。
解決
共通項であるxがあり、2番目の項が正である二項式があります。それを開発するには、共通の用語と一般的でない用語の合計（3と8）を二乗し、それらに共通の用語を掛け、さらに一般的でない用語の乗算の合計を足すだけです。
（x + 3）（x + 8）= x 2 +（3 + 8）x +（3 * 8）
（x + 3）（x + 8）= x 2 + 11x + 24。
参考文献
- エンジェル、AR（2007）。初代代数。ピアソン教育、。
- アーサー・グッドマン、LH（1996）。解析幾何学による代数と三角法。ピアソン教育。
- Das、S.（nd）。Maths Plus8。イギリス：Ratna Sagar。
- ジェロームE.カウフマン、KL（2011）。初等および中間代数：複合アプローチ。フロリダ：Cengage Learning。
- ペレス、CD（2010）。ピアソン教育。