- 線形計画法
- グラフィカルな方法によるソリューションの例
- 演習
- -演習1（グラフィックメソッド）
- 解決
- -演習2（分析方法：ラグランジュ乗数）
- 解決
- 可能なシステムソリューション
- -演習3（Nullグラデーション）
- 解決
- 参考文献
非線形計画は、順番に制約を受けるされているいくつかの独立変数に依存する関数を最適化するプロセスです。
1つ以上の制限、または最大化または最小化される関数（目的関数と呼ばれます）が変数の線形結合として表現されていない場合、非線形プログラミングの問題があります。
図1.非線形計画問題（NLP）。ここで、Gは緑の領域で最適化する（非線形）関数であり、制約によって決定されます。出典：F. Zapata。
したがって、線形計画法の手順と方法は使用できません。
たとえば、よく知られているシンプレックス法は使用できません。これは、目的関数と制約がすべて問題の変数の線形結合である場合にのみ適用されます。
線形計画法
非線形計画問題の場合、使用される主な方法は次のとおりです。
1.-グラフィックメソッド。
2.-ソリューション領域の境界を探索するラグランジュ乗数。
3.-勾配の計算により、目的関数の極値を探索します。
4.-ヌルグラデーションポイントを見つけるための降順ステップの方法。
5.-ラグランジュ乗数の修正方法（Karush-Kuhn-Tucker条件付き）。
グラフィカルな方法によるソリューションの例
グラフィカルな方法によるソリューションの例は、図2に示すものです。
図2.非線形制限のある非線形問題の例とそのグラフィカルなソリューション。出典：F. Zapata。
演習
-演習1（グラフィックメソッド）
特定の会社の利益Gは、製品Xの販売量と製品Yの販売量に依存します。また、利益は次の式で決定されます。
G = 2（X-2）2 + 3（Y-3）2
金額XおよびYには、以下の制限があることがわかっています。
X≥0; Y≥0およびX + Y≤7
最大ゲインを生成するXとYの値を決定します。
図3.企業の利益を数学的にモデル化して、非線形プログラミングを使用して最大利益を見つけることができます。出典：Pixabay。
解決
この問題では、目的関数は非線形ですが、制約を定義する不等式は非線形です。これは非線形計画問題です。
この問題を解決するには、グラフィカルな方法を選択します。
まず、制限によって与えられる解領域が決定されます。
X≧0として; Y≥0の場合、解はXY平面の第1象限にある必要がありますが、X + Y≤7であることも真である必要があるため、解は線X + Y = 7の下半平面にあります。
解の領域は、第1象限と線の下半分の平面の交点であり、解が見つかる三角形の領域になります。図1と同じです。
一方、ゲインGは、中心が（2,3）の楕円の方程式であるため、デカルト平面で表すこともできます。
楕円は、Gのさまざまな値について図1に示されています。Gの値が大きいほど、ゲインは大きくなります。
領域に属するソリューションがありますが、最大G値を与えませんが、G = 92.4などの他のものはグリーンゾーンの外側、つまりソリューションゾーンにあります。
次に、XとYが解領域に属するようなGの最大値は、以下に対応します。
G = 77（最大ゲイン）。これは、X = 7およびY = 0に対して与えられます。
興味深いことに、最大利益は製品Yの販売量がゼロであるときに発生しますが、製品Xの量は可能な最大値に達します。
-演習2（分析方法：ラグランジュ乗数）
領域g（x、y）= x 2 + y 2-1 = 0で関数f（x、y）= x 2 + 2y 2を最大にする解（x、y）を見つけます。
解決
目的関数f（x、y）と制限g（x、y）= 0はどちらも変数xとyの線形結合ではないため、これは明らかに非線形計画問題です。
ラグランジュ乗数法が使用され、最初にラグランジュ関数L（x、y、λ）を定義する必要があります。
L（x、y、λ）= f（x、y）-λg（x、y）= x 2 + 2y 2 -λ（x 2 + y 2-1）
ここで、λはラグランジュ乗数と呼ばれるパラメーターです。
目的関数fの極値を決定するには、制限g（x、y）= 0によって与えられる解領域で、次の手順に従います。
-ラグランジュ関数Lの偏微分をx、y、λに関して見つけます。
-各導関数をゼロに等化します。
これらの操作のシーケンス：
- ∂L/∂x= 2x-2λx= 0
- ∂L/∂y= 4y-2λy= 0
- ∂L/∂λ=-（x 2 + y 2-1）= 0
可能なシステムソリューション
このシステムの可能な解決策はλ= 1であり、最初の方程式が満たされます。この場合、y = 0で2番目の方程式が満たされます。
このソリューションは、3番目の方程式を満たすためにx = 1またはx = -1であることを意味します。このようにして、2つの解S1およびS2が得られました。
S1：（x = 1、y = 0）
S2：（x = -1、y = 0）。
他の選択肢は、yの値に関係なく、2番目の方程式が満たされるようにλ= 2にすることです。
この場合、最初の方程式を満たす唯一の方法は、x = 0の場合です。3番目の方程式を考えると、S3とS4と呼ぶ2つのソリューションしかありません。
S3：（x = 0、y = 1）
S4：（x = 0、y = -1）
これらのソリューションのどれが目的関数を最大化するかを知るために、f（x、y）を代入します。
S1：f（1、0）= 1 2 + 2.0 2 = 1
S2：f（-1、0）=（-1）2 + 2.0 2 = 1
S3：f（0、1）= 0 2 + 2.1 2 = 2
S4：f（0、-1）= 0 2 + 2（-1）2 = 2
xとyが円周g（x、y）= 0に属する場合、fを最大化する解はS3とS4であると結論付けます。
値のペア（x = 0、y = 1）と（x = 0、y = -1）は、解領域g（x、y）= 0でf（x、y）を最大化します。
-演習3（Nullグラデーション）
目的関数の解（x、y）を求めます。
f（x、y）= x 2 + 2 y 2
領域G（X、Y）= xの最大値とする2 + Y 2 1≤0 - 。
解決
この演習は演習2に似ていますが、解（または制限）領域は円周の内部領域g（x、y）= 0、つまり円g（x、y）≤0まで拡張されます。これには、周囲とその内部領域に。
国境での解法は演習2ですでに決定されていますが、内部領域はまだ調査されていません。
これを行うには、関数f（x、y）の勾配を計算してゼロに設定し、解領域の極値を見つける必要があります。これは、xとyに関するfの偏導関数をそれぞれ計算し、それをゼロに設定することと同じです。
∂f/∂x= 2 x = 0
∂f/∂y= 4 y = 0
この方程式系には、円g（x、y）≤0に属する唯一の解（x = 0、y = 0）があります。
この値を関数fに代入すると、次のようになります。
f（0、0）= 0
結論として、値が（x = 0、y = 1）と（x = 0、y = -1）の場合、関数が解領域で取る最大値は2であり、解領域の境界で発生します。 。
参考文献
- Avriel、M。2003。非線形プログラミング。ドーバー出版。
- バザーラ。1979。非線形プログラミング。ジョン・ワイリー&サンズ。
- Bertsekas、D。1999。非線形プログラミング：第2版。アテナ科学。
- Nocedal、J。1999。数値最適化。Springer-Verlag。
- ウィキペディア。非線形プログラミング。回復元：es.wikipedia.com