シンプソンのルールは、およそ、定積分を計算する方法です。これは、積分間隔を偶数個の等間隔のサブ間隔に分割することに基づいています。
2つの連続する部分区間の極値は3つの点を定義し、それによって方程式が2次多項式である放物線が適合します。
図1. Simpsonの方法では、積分区間は、等しい幅の偶数の区間に細分されます。関数は2つのサブ区間ごとに放物線で近似され、積分は放物線の下の面積の合計で近似されます。出典：upv.es。
次に、2つの連続した間隔での関数の曲線の下の面積は、補間多項式の面積によって近似されます。すべての連続する部分区間の放物線の下の領域への寄与を追加すると、おおよその積分値が得られます。
一方、放物線の積分は代数的に正確に計算できるため、定積分の近似値の解析式を見つけることができます。シンプソンの公式として知られています。
このようにして得られた近似結果の誤差は、分割数nが大きいほど小さくなります（nは偶数です）。
全区間のn個の規則的な部分区間の分割が行われたときに、積分Iへの近似の誤差の上限を推定できる式を以下に示します。
式
積分区間は、nが偶数の整数であるn個のサブ区間に分割されます。各サブディビジョンの幅は次のとおりです。
h =（b-a）/ n
このようにして、パーティションは次の間隔で作成されます。
{X0、X1、X2、…、Xn-1、Xn}
ここで、X0 = a、X1 = X0 + h、X2 = X0 + 2h、…、Xn-1 = X0 +（n-1）h、Xn = X0 + nh = b。
区間内の連続した、できれば滑らかな関数の定積分Iを近似できる式は、次のとおりです。
デモンストレーション
シンプソンの公式を取得するには、各部分区間で関数f（X）を3点を通過する2次多項式p（X）（放物線）で近似します。と。
次に、多項式p（x）の積分が計算され、その区間での関数f（X）の積分が近似されます。
図2.シンプソンの公式を示すグラフ。出典：F. Zapata。
補間多項式の係数
放物線P（X）の式は、一般的な形態を有する：P（X）= AX 2 + BX + Cとしては、放物線は次に、係数A、B、C、（図を参照）Qは、赤色で示さ点を通ります次の連立方程式から決定されます。
A（-h）2 -B h + C = f（Xi）
C = f（Xi + 1）
A（h）2 + B h + C = f（Xi + 2）
係数Ｃが決定されていることが分かる。係数Aを決定するために、最初の方程式と3番目の方程式を追加します。
2 A h 2 + 2 C = f（Xi）+ f（Xi + 2）。
次に、Cの値が代入され、Aがクリアされて、次のようになります。
A = /（2時間2）
係数Bを決定するには、3番目の方程式を最初の方程式から減算し、Bを解いて、次の式を取得します。
B = = 2時間。
要約すると、点Qi、Qi + 1およびQi + 2を通過する2次多項式p（X）には係数があります。
A = /（2時間2）
B = = 2時間
C = f（Xi + 1）
の近似積分の計算
の積分の近似計算
すでに述べたように、パーティション{X0、X1、X2、…、Xn-1、Xn}は、ステップh = Xi + 1-Xi =（b-a）/ nの合計積分間隔で作成されます。 nは偶数です。
近似誤差
間隔内のサブディビジョン数の4乗でエラーが減少することに注意してください。たとえば、n個のサブディビジョンから2n個にすると、誤差は1/16倍に減少します。
シンプソン近似によって得られた誤差の上限は、この同じ式から得られ、区間内の4次導関数の最大絶対値を4次導関数に置き換えます。
実施例
-例1
関数f（X）= 1 /（1 + X 2）を考えます。
2つの分割（n = 2）を持つシンプソンの方法を使用して、区間上の関数f（X）の定積分を求めます。
解決
n = 2とします。積分の限界はa = -1およびb = -2なので、パーティションは次のようになります。
X0 = -1; X1 = 0およびX2 = +1。
したがって、シンプソンの式は次の形式を取ります。
図3.ソフトウェアを使用したシンプソンの法則による数値積分の例。出典：F. Zapata。
参考文献
- Casteleiro、JM2002。総合計算（図版）。マドリード：ESIC社説。
- UPV。シンプソンの方法。バレンシアの工科大学。回収元：youtube.com
- パーセル、E。2007。微積分第9版。プレンティスホール。
- ウィキペディア。シンプソンの法則。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。ラグランジュ多項式補間。回復元：es.wikipedia.com