存在及び一意性定理は、その溶液は一つだけであるために溶液とを有するように、与えられた初期条件と、一次微分方程式のための必要十分条件を確立します。
ただし、この定理は、このような解決策を見つける方法や手法を示していません。存在と一意性の定理は、コーシー問題として知られている初期条件のある高次微分方程式にも拡張されます。
図1.初期条件とその解を含む微分方程式を示します。存在と一意性の定理は、それが唯一の可能な解決策であることを保証します。
存在と一意性の定理の正式なステートメントは次のとおりです。
「初期条件がy（a）= bの微分方程式y '（x）= f（x、y）の場合、点（a、b）を含むXY平面の長方形領域に少なくとも1つの解が存在します。 f（x、y）はその領域で連続です。そして、yに関するfの偏微分：g =∂f/∂yが同じ長方形の領域で連続である場合、解はfyの連続性の領域に含まれる点（a、b）の近傍で一意です。 g。」
この定理の有用性は、最初に、解が存在できるXY平面の領域がどれであるかを知ることと、見つかった解が唯一可能な解であるか、他にあるかがわかることです。
一意性条件が満たされない場合、定理はコーシー問題の合計の解数を予測できないことに注意してください。おそらく1つ、2つ、またはそれ以上です。
存在と一意性の定理の証明
図2.シャルル・エミール・ピカード（1856-1941）は、存在と一意性の定理の最初の証明の1つとされています。出典：ウィキメディア・コモンズ。
この定理では、考えられる2つの証明が知られています。1つはシャルルエミールピカール（1856-1941）の証明であり、もう1つはオーギュスタンルイコーシー（1789-1857）の作品に基づくジュゼッペピアノ（1858-1932）によるものです。 。
この定理の証明には、19世紀の最も華麗な数学的思考が加わったことは注目に値します。
定理を正式に証明するには、最初に、リプシッツ型関数、バナッハ空間、カラテオドリの存在定理など、記事の範囲を超えた一連のより高度な数学的概念を確立する必要があります。
物理学で扱われる微分方程式の大部分は、対象領域の連続関数を扱うため、定理が単純な方程式にどのように適用されるかを示すことに限定します。
例
-例1
初期条件を含む次の微分方程式を考えてみましょう。
y '（x）=-y; y（1）= 3
この問題の解決策はありますか？それが唯一の可能な解決策ですか？
答え
まず第一に、微分方程式の解の存在が評価され、それが初期条件も満たしていることです。
この例では、f（x、y）=-であり、存在条件では、座標点x = 1、y = 3を含むXY平面の領域でf（x、y）が連続しているかどうかを知る必要があります。
しかし、f（x、y）=-yはアフィン関数であり、実数の領域で連続であり、実数の範囲全体に存在します。
したがって、f（x、y）はR 2で連続的であると結論付けられるため、定理は少なくとも1つの解の存在を保証します。
これを知って、ソリューションが一意であるかどうか、または逆に複数あるかどうかを評価する必要があります。このため、変数yに関するfの偏微分を計算する必要があります。
次に、g（x、y）= -1は定数関数です。これは、すべてのR 2に対しても定義され、そこでも連続です。したがって、存在と一意性の定理は、この初期値の問題が一意の解を持つことを保証しますが、それが何であるかはわかりません。
-例2
次の初期条件付きの一階常微分方程式を考えます。
y '（x）=2√y; および（0）= 0。
この問題の解決策y（x）はありますか？その場合は、1つまたは複数あるかどうかを判別します。
応答
関数f（x、y）=2√yを考えます。関数fはy≥0に対してのみ定義されます。これは、負の数には実根がないことがわかっているためです。さらに、f（x、y）は、X軸を含むR 2の上半平面で連続であるため、存在と一意性の定理は、この領域で少なくとも1つの解を保証します。
ここで、初期条件x = 0、y = 0は解領域の端にあります。次に、yに関するf（x、y）の偏微分をとります。
∂f/∂y= 1 /√y
この場合、関数はy = 0に対して定義されておらず、正確には初期条件が存在します。
定理は私たちに何を伝えますか？これは、X軸を含むX軸の上半分の平面に少なくとも1つの解があることを知っていますが、一意性の条件が満たされていないため、一意的な解があることは保証されないことを示しています。
これは、f（x、y）の連続性の領域に1つまたは複数の解が存在する可能性があることを意味します。そしていつものように、定理はそれらが何であるかを教えてくれません。
解決された演習
-演習1
例1のコーシー問題を解決します。
y '（x）=-y; y（1）= 3。
微分方程式と初期条件を満たす関数y（x）を見つけます。
解決
例1では、この問題には解決策があり、これもユニークであると判断されました。解を見つけるために最初に注意することは、それが分離可能な変数の1次微分方程式であることです。これは次のように記述されます。
私たちが持っている変数を分離するために両方のメンバーの間で分割します：
不定積分は両方のメンバーに適用されます。
私たちが持っている不定積分を解く：
ここで、Cは初期条件によって決定される積分定数です。
Cの値を代入して再配置すると、次のようになります。
対数の次のプロパティを適用します。
上記の式は次のように書き換えることができます。
両方のメンバーにeを底とする指数関数が適用され、
y / 3 = e （1-x）
これは次と同等です：
y = 3e e -x
これは方程式y '= -yとy（1）= 3のユニークな解です。この解のグラフを図1に示します。
-演習2
例2で提起された問題の2つの解決策を見つけます。
y '（x）=2√（y）; および（0）= 0。
解決
これは、分離可能な変数の方程式でもあり、微分形式で記述すると、次のようになります。
dy /√（y）= 2 dx
両方のメンバーで不定積分を取ることは残ります：
2√（y）= 2 x + C
解領域でy≥0であることを知っているので、
y =（x + C）2
ただし、初期条件x = 0、y = 0を満たす必要があるため、定数Cはゼロであり、次の解が残ります。
y（x）= x 2。
しかし、この解は一意ではありません。関数y（x）= 0も、提起された問題の解です。例2のこの問題に適用される存在性と一意性の定理は、複数のソリューションが存在する可能性があることをすでに予測しています。
参考文献
- コディントン、アールA ;; レビンソン、ノーマン（1955）、常微分方程式理論、ニューヨーク：マグローヒル。
- 数学百科事典。コーシー・リプシッツの定理。から回復：encyclopediaofmath.org
- Lindelöf、Sur l'application de laméthodedes近似連続auxéquationsdifférentiellesordinaires du premier ordre; アカデミーデサイエンスの神学校を編纂しています。第116巻、1894年、pp。454–457。回収元：gallica.bnf.fr。
- ウィキペディア。ピカードの逐次近似法。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。ピカード・リンデロフの定理。回復元：es.wikipedia.com。
- ジル、D.1986。初等微分方程式とアプリケーションPrentice Hall。