シュタイナーの定理にも平行軸の定理として知られているが、物体の質量の中心を通る別の通過に平行な軸の周りで、拡張された本体の慣性モーメントを評価します。
これは、スイスの数学者Jakob Steiner（1796 – 1863）によって発見され、次のように述べています：I CMをその重心CMを通る軸に対するオブジェクトの慣性モーメントとし、I zを別の軸に対する慣性モーメントとします。これと平行。
図1.ヒンジで回転する長方形のドアには、シュタイナーの定理を適用して計算できる慣性モーメントがあります。出典：Pixabay。
両方の軸と問題のボディの質量Mを分離する距離Dがわかっている場合、未知の軸に関する慣性モーメントは次のとおりです。
慣性モーメントは、オブジェクトが特定の軸の周りを回転するのがいかに簡単かを示します。体の質量だけでなく、それがどのように分布しているかにも依存します。このため、国際システムKgの単位である回転慣性としても知られています。m 2。
この定理は、慣性モーメントI zが常に慣性モーメントI CMよりもMD 2で与えられる量だけ大きいことを示しています。
用途
オブジェクトは多数の軸の周りを回転することができ、通常、表では重心を通る軸に対して慣性モーメントのみが与えられるため、シュタイナーの定理は、軸上で物体を回転させる必要がある場合に計算を容易にしますこれと一致しません。
たとえば、ドアは通常、その重心を通る軸を中心に回転するのではなく、ヒンジが付着する横軸を中心に回転します。
慣性モーメントを知ることにより、前記軸の周りの回転に関連する運動エネルギーを計算することが可能です。Kが運動エネルギー、Iが問題の軸の周りの慣性モーメント、ωが角速度の場合、次のようになります。
この方程式は、速度Mで移動する質量Mの物体の運動エネルギーの非常によく知られている式に非常に似ています。K=½Mv 2。そして、慣性モーメントまたは回転慣性モーメントIは、並進運動における質量Mと同じ役割を回転に果たしているということです。
シュタイナーの定理の証明
拡張オブジェクトの慣性モーメントは次のように定義されます。
I =∫r 2 dm
ここで、dmは質量の微小部分であり、rはdmと回転軸zの間の距離です。図2では、この軸は重心CMと交差していますが、任意の軸にすることができます。
図2. 2つの平行軸を中心に回転するオブジェクト。出典：F. Zapata。
別のz軸の周りの慣性モーメントは次のとおりです。
I z =∫（r '）2 dm
ここで、ベクトルD、rおよびr 'によって形成される三角形（右の図2を参照）に従って、ベクトルの合計があります。
r + r ' = D → r' = D - r
3つのベクトルはオブジェクトの平面上にあり、xyにすることができます。座標系の原点（0,0）は、後続の計算を容易にするためにCMで選択されます。
このように、ベクトルr 'の二乗モジュールは次のとおりです。
ここで、この展開は慣性モーメントI zの積分に置き換えられ、密度dm =ρ.dVの定義も使用されます。
シュタイナーの定理に現れるM. D 2という用語は、最初の積分に由来し、2番目は、CMを通過する軸に対する慣性モーメントです。
それらの部分では、3番目と4番目の積分は0の価値があります。定義により、それらはCMの位置を構成し、これは座標系（0,0）の原点として選択されています。
解決された演習
-解決された演習1
図1の長方形のドアの質量は23 kg、幅1.30、高さ2.10 mです。ドアが薄く均一であることを前提として、ヒンジを通る軸を基準にしてドアの慣性モーメントを決定します。
図3.実施例の回路図1.出典：Pixabayから変更。
解決
慣性モーメントの表から、質量がMで寸法がaとbの長方形プレートの場合、その質量中心を通過する軸に対する慣性モーメントは次のとおりです。I CM =（1/12）M（a 2 + b 2）。
均一なゲートが想定されます（図のゲートはおそらくそうではないため、近似です）。このような場合、重心はその幾何学的中心を通過します。図3では、重心を通る軸が描かれており、ヒンジを通る軸と平行です。
I CM =（1/12）x 23 Kg x（1.30 2 +2.10 2）m 2 = 11.7 Kg.m 2
緑の回転軸にシュタイナーの定理を適用する：
I = I CM + MD 2 = 11.7 Kg.m 2 + 23 Kg x 0.652 m 2 = 21.4 Kg。
-解決された演習2
均質な細いロッドが、その端の1つを通る軸を中心に回転するときの慣性モーメントを求めます。図を参照してください。それはその中心の周りを回転するときの慣性モーメントよりも大きいですか、それとも小さいですか？どうして？
図4.解決された例のスキーム2.出典：F. Zapata。
解決
慣性モーメントの表によると、質量M、長さLの細い棒の慣性モーメントI CMは、次のとおりです。I CM =（1/12）ML 2
そしてシュタイナーの定理は、それが一方の端を通過する軸を中心に回転したときに、D = L / 2が残ると述べています：
ロッドの半分（図では陰影なし）が回転して半径が大きくなるため、単純に2倍ではなく4倍になります。
回転軸までの距離の影響は線形ではなく、2次式です。別の質量の2倍の距離にある質量には、（2D）2 = 4D 2に比例する慣性モーメントがあります。
参考文献
- バウアー、W。2011。工学および科学のための物理学。ボリューム1. Mc Graw Hill。313-340。
- ジョージア州立大学。回転運動。から回復：phys.nthu.edu.tw。
- 平行軸定理。回収元：hyperphysics.phy-astr.gsu.edu。
- レックス、A。2011。基礎物理学。ピアソン。190-200。
- ウィキペディア。平行軸定理。から回復：en.wikipedia.org