- 用途
- 表記法と3Dベクトル表現
- ベクトルの角度とディレクターコサイン
- 解決された演習
- -演習1
- 解決
- -演習2
- 解決
- ステップ1：すべてのポイントの座標を見つける
- ステップ2：終点と始点の座標を差し引いて、各方向のベクトルを見つける
- ステップ3：モジュールと単位ベクトルを計算する
- ステップ4：すべてのストレスをベクトルとして表現する
- ステップ5：静的平衡条件を適用し、連立方程式を解く
- 参考文献
空間内のベクトルは、x、y、zで指定される座標系で表されるすべてのベクトルです。ほとんどの場合、xy平面は水平面であり、z軸は高さ（または深さ）を表します。
図1に示すデカルト座標軸は、x-y軸が平面を4つの象限に分割する方法と同様に、空間をオクタントと呼ばれる8つの領域に分割します。次に、1番目のオクタント、2番目のオクタントなどになります。
図1.空間内のベクトル。出典：自作。
図1には、空間内のベクトルvの表現が含まれています。画面の平面に3次元の錯覚を作成するには、ある程度の遠近法が必要です。これは、斜めのビューを描くことによって実現されます。
3Dベクトルをグラフ化するには、グリッド上でxyサーフェス上のvの投影または「影」の座標を決定する点線を使用する必要があります。この投影はOで始まり、緑の点で終わります。
そこに到達したら、Pに到達するまで、zの値に従って必要な高さ（または深さ）まで垂直に沿って続ける必要があります。ベクトルはOから始まり、Pで終わるように描画されます。この例では、1番目のオクタントにあります。
用途
空間内のベクトルは、力学やその他の物理学や工学の分野で広く使用されています。
空間内の位置ベクトルは、OR原点と呼ばれる参照点を基準にオブジェクトを配置するために使用されるため、ナビゲーションに必要なツールでもありますが、それだけではありません。
ボルト、ブラケット、ケーブル、支柱などの構造物に作用する力は、本質的にベクトルであり、空間を向いています。その効果を知るためには、そのアドレス（およびその適用ポイント）を知る必要があります。
そして、力の方向は、その作用線に属する空間内の2つの点を知ることによって知られています。このように、力は次のとおりです。
F = F u
ここで、Fは力の大きさまたは大きさ、uは作用線Fに沿った方向の単位ベクトル（モジュール1）です。
表記法と3Dベクトル表現
いくつかの例を解く前に、3Dベクトル表記について簡単に説明します。
図1の例では、原点が原点Oと一致し、終点が点Pであるベクトルvは正のxyz座標を持ち、y座標は負です。これらの座標は、x 1、y 1、z 1であり、これらは正確にPの座標です。
したがって、原点にリンクされたベクトル、つまりその始点がOと一致している場合、その座標を示すことは非常に簡単です。これは、極値またはPの座標になります。点とベクトルを区別するために、次のような最後の太字と括弧。
v = <x 1、y 1、z 1 >
点Pは括弧で示されていますが、
P =（x 1、y 1、z 1）
別の表現では、x、y、z軸上の空間の3つの方向をそれぞれ定義する単位ベクトルi、j、kを使用します。
これらのベクトルは互いに垂直であり、正規直交基底を形成します（図2を参照）。つまり、3Dベクトルは次のように記述することができます。
v = v x i + v y j + v z k
ベクトルの角度とディレクターコサイン
図2はまたディレクタ角度γ示す1、γ 2及びγ 3ベクトルことVは X、Y及びZ軸にそれぞれなります。これらの角度とベクトルの大きさが分かれば、完全に決定されます。さらに、ディレクターアングルのコサインは次の関係を満たします。
（COSγ 1）2 +（COSγ 2）2 +（COSγ 3）2 = 1
図2.単位ベクトルi、j、kは、空間の3つの優先方向を決定します。出典：自作。
解決された演習
-演習1
図2における角度γ 1、γ 2及びγ 3ベクトルそのV座標軸と50は弾性率のそれぞれ：75.0º、60.0ºと34.3º。このベクトルのデカルト成分を見つけ、それを単位ベクトルi、j、およびkで表します。
解決
ベクトルvのx軸への射影はv x = 50です。cos75º= 12,941。同様に、y軸へのvの投影はv y = 50 cos 60º= 25であり、最後にz軸への投影はv z = 50です。cos34.3º= 41.3。今、Vは次式で表すことができます。
v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k
-演習2
重量が30 Nの場合、平衡状態にある図でバケットを保持する各ケーブルの張力を見つけます。
図3.演習2のストレス図。
解決
バケットの自由体図は、T D（緑）が重量W（黄色）を相殺することを示しているため、T D = W = 30 Nです。
ノードでは、ベクトルT Dが垂直方向下向きになり、次のようになります。
T D = 30（-k）N。
残りの電圧を確立するには、次の手順に従います。
ステップ1：すべてのポイントの座標を見つける
A =（4.5,0,3）（Aは壁の平面xzにあります）
B =（1.5,0,0）（Bはx軸にあります）
C =（0、2.5、3）（Cは壁の平面にあり、z）
D =（1.5、1.5、0）（Dは水平xy平面上にあります）
ステップ2：終点と始点の座標を差し引いて、各方向のベクトルを見つける
DA = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5; 1; 3>
DB = <0; -1.5; 0>
ステップ3：モジュールと単位ベクトルを計算する
単位ベクトルは、式u = r / r によって取得されます。r（太字）はベクトルであり、r（太字なし）はそのベクトルのモジュールです。
DA =（3 2 +（-1.5）2 + 3 2）½ = 4.5; DC =（（-1.5）2 + 1 2 + 3 2）½ = 3.5
u DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>
u DC = <-1.5; 1; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
u DB = <0; -1; 0>
u D = <0; 0; -1>
ステップ4：すべてのストレスをベクトルとして表現する
T DA = T DA u DA = T DA <0.67; -0.33; 0.67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0.43; 0.29; 0.86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -1; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
ステップ5：静的平衡条件を適用し、連立方程式を解く
最後に、静的平衡の条件がバケットに適用されるため、ノードに加わるすべての力のベクトル合計はゼロになります。
T DA + T DC + T DB + T D = 0
応力は空間内にあるため、応力の各成分（x、y、およびz）に対して3つの方程式のシステムになります。
0.67 T DA -0.43 T DC + 0 T DB = 0
-0.33 T DA + 0.29 T DC -T DB = 0
0.67 T DA + 0.86 T DC +0 T DB -30 = 0
ソリューションは次のとおりです。T DA = 14.9 N; T DA = 23.3 N; T DB = 1.82 N
参考文献
- ベッドフォード、2000。A.工学力学：静力学。Addison Wesley。38-52。
- Figueroa、D.シリーズ：科学と工学のための物理学。ボリューム1.キネマティクス31-68。
- 物理的。モジュール8：ベクトル。回収元：frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler、R。2006。エンジニアのための力学。静的 第6版。コンチネンタル出版社。15-53。
- ベクトル加算計算機。回収元：1728.org