正規直交基底は、その弾性率も1（単位ベクトル）であり、互いに直交するベクトルとが形成されています。ベクトル空間Vの基底Bは、その空間を生成できる線形独立ベクトルのセットとして定義されることを思い出してください。
次に、ベクトル空間は抽象的な数学的な実体であり、その要素はベクトルであり、一般に速度、力、変位などの物理量、または行列、多項式、関数に関連付けられています。
図1.平面の正規直交ベース。出典：ウィキメディア・コモンズ。四分の一。
ベクトルには、マグニチュードまたはモジュラス、方向、およびセンスという3つの特徴的な要素があります。特定のベクトル空間Vに属する任意のベクトルは、正規直交基底を形成するベクトルの線形結合として記述できるため、正規直交基底はそれらを表現して操作するのに特に役立ちます。
このようにして、加算、減算、および前記空間で定義された異なるタイプの積などのベクトル間の演算が分析的に実行されます。
物理学において最も一般的に使用される塩基の間で単位ベクトルによって形成されたベースであるI、J、及びKの高さ、幅、および深さ：三次元空間の3つの独特の方向を表します。これらのベクトルは、単位正準ベクトルとも呼ばれます。
代わりに、ベクトルが平面で機能する場合、これら3つのコンポーネントのうち2つで十分ですが、1次元のベクトルの場合は1つだけで十分です。
塩基の性質
1-ベースBは、ベクトル空間Vを生成する可能な最小のベクトルのセットです。
2- Bの要素は線形独立です。
3-ベクトル空間Vの任意の基底Bは、Vのすべてのベクトルをその線形結合として表すことができ、この形式は各ベクトルに固有です。このため、Bは生成システムとしても知られています。
4-同じベクトル空間Vは異なる基底を持つことができます。
拠点の例
正規直交基底と一般的な基底のいくつかの例を次に示します。
ℜの基準
また、天然の塩基またはℜの標準ベースと呼ばれるN ℜ、nは例えば三次元空間がℜで、n次元空間である3。nの値はベクトル空間の次元と呼ばれ、dim（V）として表されます。
ℜに属するすべてのベクトルnが注文したn型広告で表現されています。空間ℜnの場合、正準基底は次のとおりです。
e 1 = <1,0、。。。、0>; e 2 = <0.1、。。。、0>; …….. e n = <0.0、。。。、1>
この例では、単位ベクトルe 1、e 2、e 3 …
ℜの基準
おなじみのベクトルは、私は、JとKは、これと同じ表現を認め、それらのすべての3つはℜでベクトルを表現するのに十分なされている3：
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
つまり、ベースは次のように表現できます。
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
それらが線形独立であることを確認するために、それらで形成された行列式はゼロではなく、1にも等しくなります。
F = <4、-7,0> N = 4 i -7 j + 0 kN。
したがって、i、j、kは3のジェネレータシステムを構成します。
ℜの他の正規直交基底
前のセクションで説明した標準的な塩基は、ℜにのみ正規直交基底ではない3。ここに私たちは例えばベースがあります：
B 1 = {
B 2 = {<3/5、4 / 5.0>; <-4 / 5、3 / 5.0>; <0,0,1>}
これらの基底が正規直交であることを示すことができます。このため、満たす必要のある条件を覚えています。
-ベースを形成するベクトルは互いに直交している必要があります。
-それらのすべてが単一でなければなりません。
これらによって形成される行列式はゼロ以外で1に等しくなければならないことを知ることで、これを検証できます。
ベースB 1は、正確に円柱座標ρ、φ、z のベースであり、空間でベクトルを表現するもう1つの方法です。
図2.円筒座標。出典：ウィキメディア・コモンズ。数学バフ。
解決された演習
-演習1
ベースB = {<3/5、4 / 5,0>; <-4 / 5、3 / 5.0>; <0,0,1>}は正規直交です。
解決
ベクトルが互いに垂直であることを示すために、2つのベクトルの内積または内積とも呼ばれるスカラー積を使用します。
任意の2つのベクトルuおよびvとすると、それらの内積は次のように定義されます。
u • v = uvcosθ
モジュールのベクトルを区別するために、最初の文字には太字を使用し、2番目の文字には通常の文字を使用します。θはuとvの間の角度です。したがって、それらが垂直である場合、それはθ=90ºであり、スカラー積はゼロです。
または、ベクトルがそれらの成分に関して与えられる場合：u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
このようにして、ベクトルの各ペア間のスカラー積はそれぞれ次のようになります。
i）<3/5、4 / 5,0>•<-4/5、3 / 5,0> =（3/5）（-4/5）+（4/5）（（3 / 5）+ 0.0 =（-12/25）+（12/25）= 0
ii）<3 / 5、4 / 5.0>•<0、0.1> = 0
iii）<-4 / 5、3 / 5.0>•<0、0.1> = 0
2番目の条件では、各ベクトルのモジュールが計算されます。これは次のようにして得られます。
│u│=√（u x 2 + u y 2 + u z 2）
したがって、各ベクトルのモジュールは次のとおりです。
│<3 / 5、4 / 5,0>│=√=√=√（25/25）= 1
│<-4/5、3 / 5,0>│=√=√=√（25/25）= 1
│<0、0.1>│=√= 1
したがって、3つすべてが単位ベクトルです。最後に、それらが形成する行列式はゼロではなく、1に等しくなります。
-演習2
上記の底に関して、ベクトルw = <2、3,1> の座標を書き込みます。
解決
これを行うには、次の定理を使用します。
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +…< w • v n > v n
これは、示されたスカラー積を計算する必要がある係数< w • v 1 >、< w • v 2 >、…< w • v n > を使用して、ベースBにベクトルを書き込むことができることを意味します。
<2、3,1>•<3/5、4 / 5,0> =（2）。（3/5）+（3）。（4/5）+ 1.0 =（6/5）+（12 / 5）= 18/5
<2、3,1>•<-4/5、3 / 5,0> =（2）。（-4/5）+（3）。（3/5）+ 1.0 =（-8/5） +（9/5）= 1/5
<2、3,1>•<0,0,1> = 1
得られたスカラー積を使用して、w座標行列と呼ばれる行列が作成されます。
したがって、底Bのベクトルwの座標は次のように表されます。
B =
ベクトルはその座標と同じではないため、座標行列はベクトルではありません。これらは、与えられたベースでベクトルを表現するのに役立つ数のセットであり、ベクトルそのものではありません。彼らはまた、選択したベースに依存します。
最後に、定理に従って、ベクトルwは次のように表されます。
w =（18/5）v 1 +（1/5）v 2 + v 3
あり：v 1 = <3/5、4 / 5,0>; v 2 = <-4 / 5、3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}、つまりベースBのベクトル。
参考文献
- ラーソン、R。線形代数の基礎。6日。版。Cengage Learning。
- ラーソン、R。2006。微積分。7日。版。ボリューム2。McGrawHill。
- Salas、J。線形代数。ユニット10.正規直交基底。リカバリー元：ocw.uc3m.es。
- セビリア大学。円柱座標。ベクトルベース。から回復：laplace.us.es。
- ウィキペディア。正規直交ベース。回復元：es.wikipedia.org。