確率変数X の数学的期待値または期待値は、E（X）として示され、ランダムイベントが発生する確率と前記イベントの値の間の積の合計として定義されます。
数学的形式では、次のように表されます。
図1.数学的期待値は、株式市場や保険で広く使用されています。出典：Pixabay。
ここで、x iはイベントの値であり、P（x i）はその発生確率です。合計は、Xが許可するすべての値に及びます。これらが有限である場合、示された合計は値E（X）に収束しますが、合計が収束しない場合、変数は単に期待される値を持ちません。
それが連続変数xの場合、変数は無限の値を持つことができ、積分は合計を置き換えます：
ここで、f（x）は確率密度関数を表します。
一般に、数学的な期待値（加重平均）は、各イベントの確率が等しくなる離散分布を扱っていない限り、算術平均または平均とは異なります。次に、そのときだけ：
ここで、nは可能な値の数です。
この概念は、確実性はしばしば欠けているが確率は存在する金融市場や保険会社で非常に役立ちます。
数学的期待の性質
数学的期待値の最も重要な特性の中で、以下が際立っています。
-符号： Xが正の場合、E（X）も正になります。
-定数の期待値：実定数kの期待値は定数です。
-合計の線形性： 2つの変数XとYの合計である確率変数の期待値は、期待値の合計です。
E（X + Y）= E（X）+ E（Y）
-定数による乗算：確率変数がkXの形式である場合（kは定数（実数））、期待値の範囲外になります。
-積の期待値と変数間の独立性：確率変数が、独立した確率変数XとYの積である場合、積の期待値は期待値の積です。
一般的に、Y = g（X）の場合：
-期待値の順序： X≤Yの場合：
それらのそれぞれの期待値があるので。
賭けにおける数学的期待
有名な天文学者クリスチャンホイヘンス（1629〜1695）が空を観察していなかったとき、彼は他の分野の中で偶然のゲームの確率を研究することに専念しました。数学の希望の概念を1656年の「偶然のゲームについての推論」というタイトルの作品に導入したのは彼でした。
図2. Christiaan Huygens（1629-1625）は、私たちが期待値の概念を借りている、才能豊かで多才な科学者でした。
ホイヘンスは、賭けは期待値に基づいて3つの方法で分類できることを発見しました：
-アドバンテージのあるゲーム：E（X）> 0
-公平な賭け：E（X）= 0
-不利な状況でのゲーム：E（X）<0
問題は、偶然のゲームで数学的な期待値を計算することが必ずしも容易ではないということです。そして、あなたができるとき、結果は時々賭けるべきかどうか疑問に思っている人々にとっては失望です。
単純な賭けを試してみましょう：表か裏か、敗者は1ドルのコーヒーを支払います。この賭けの期待値はいくつですか？
まあ、表が転がる確率は½で、裏と同じです。確率変数は、$ 1を獲得するか$ 1を失うかで、ゲインは+記号で示され、損失は-記号で示されます。
情報を表にまとめます。
列の値を乗算します：1.½=½および（-1）。½=-½そして最後に結果が追加されます。合計は0で、参加者は勝ったり負けたりしないことが期待される公平なゲームです。
フレンチルーレットと宝くじは、ほとんどのベッターが負けるハンディキャップゲームです。後で、解決済みの演習のセクションに少し複雑な賭けがあります。
例
数学的な期待の概念が直感的で、概念を明確にするいくつかの簡単な例を次に示します。
例1
正直なサイコロを振ることから始めます。発売の期待値は？さて、サイコロが正直で6頭の場合、次のように、値（X = 1、2、3…6）が出る確率は1/6です。
E（X）= 1.（1/6）+ 2.（1/6）+ 3.（1/6）+ 4.（1/6）+ 5.（1/6）+ 6.（1 / 6）= 21/6 = 3.5
図3.正直なサイコロを振る場合、期待値は可能な値ではありません。出典：Pixabay。
この場合の期待値は平均に等しくなります。これは、各顔が同じ確率で出てくるためです。ただし、3.5に値する頭がないため、E（X）は可能な値ではありません。これは一部のディストリビューションでは完全に可能ですが、この場合、結果は賭けをする人にあまり役立ちません。
2枚のコインのトスの別の例を見てみましょう。
例2
2つの正直なコインを空中に放り投げ、ランダム変数Xを、転がる頭の数として定義します。発生する可能性のあるイベントは次のとおりです。
-頭が出ない：2尾に等しい0頭。
・1頭と1枚のスタンプまたはテイルが出ます。
-2つの顔が出ます。
Cを頭、Tを印とすると、これらのイベントを記述するサンプル空間は次のようになります。
S m = {シールシール; シール面; フェイスシール; Face-Face} = {TT、TC、CT、CC}
発生するイベントの確率は次のとおりです。
P（X = 0）= P（T）P（T）=½。½=¼
P（X = 1）= P（TC）+ P（CT）= P（T）P（C）+ P（C）P（T）=¼+¼=½
P（X = 2）= P（C）P（C）=½。½=¼
テーブルは、取得した値を使用して作成されます：
最初に示した定義によれば、数学的期待値は次のように計算されます。
代入値：
E（X）=0。¼+ 1.½+ 2.¼=½+½= 1
この結果は次のように解釈されます。人が2枚のコインを投げて多数の実験を行うのに十分な時間があれば、各トスで頭を出すことが期待されます。
ただし、2つのラベルを使用したリリースは完全に可能です。
運動が解決されました
2つの正直なコインのトスでは、次の賭けが行われます。2つの頭が出た場合、$ 3が勝ちます。1つの頭が出た場合、$ 1が勝ちますが、2つのスタンプが出た場合、$ 5を支払う必要があります。予想される賭けの勝利を計算します。
図4.賭けに応じて、2つの正直なコインを投げるときの数学的期待値が変化します。出典：Pixabay。
解決
確率変数Xは、賭けにお金がかかる値であり、確率は前の例で計算されたため、賭けのテーブルは次のようになります。
E（X）= 3。¼+ 1.½+（-5）。¼= 0
期待値は0なので、これは公平なゲームです。したがって、賭け手は勝つことも失うこともないことが期待されます。ただし、ベット額を変更して、ハンディキャップゲームやハンディキャップゲームとすることもできる。
参考文献
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- ウォルポール、R。2007。科学と工学の確率と統計。8日。版。ピアソン教育。