複素数は実数と負の数のペアの根を含む多項式のすべての根をカバーする数値のセットです。これらの根は実数のセットには存在しませんが、複素数では解があります。
複素数は、実数部と「虚数」と呼ばれる部分で構成されます。たとえば、実数部はaと呼ばれ、虚数部はibと呼ばれ、aとbの実数と虚数単位としての "i"が付きます。このようにして、複素数は次の形式になります。
図1.-実数部と虚数部による複素数の二項表現。出典：Pixabay。
複素数の例は、2-3i、-πi、1 +（1/2）iです。しかし、それらを操作する前に、この2次方程式を考慮して、iがどこから発生するかを見てみましょう。
X 2 - 10X + 34 = 0
ここで、a = 1、b = -10、c = 34です。
解決式を適用してソリューションを決定すると、次のことがわかります。
√-36の値を決定する方法は？2乗して負の量を生成する実数はありません。次に、この方程式には実際の解がないと結論付けられます。
ただし、次のように書くことができます。
√-36 =√6 2 =√6 2（-1）=6√-1
次のような特定の値xを定義すると、
x 2 = -1
そう：
x =±√-1
そして、上記の方程式には解決策があります。したがって、虚数単位は次のように定義されました。
i =√-1
など：
√-36= 6i
古代の多くの数学者、特にルネッサンスジローラモカルダーノ（1501-1576）、ニコロフォンタナ（1501-1557）、ラファエレボンベリ（1526-1572）が同様の問題の解決に取り組みました。
数年後、ルネデカルト（1596-1650）は、例では√-36のように数量を「虚数」と呼びました。このため、√-1は虚数単位として知られています。
複素数の性質
-複素数のセットはCとして示され、実数Rと虚数Imを含みます。次の図に示すように、数値セットはベン図で表されます。
図2.数値セットのベン図。出典：F. Zapata。
-すべての複素数は、実数部と虚数部で構成されます。
-複素数の虚数部が0の場合、それは純粋な実数です。
-複素数の実部が0の場合、その数は純粋な虚数です。
-2つの複素数は、それぞれの実数部と虚数部が同じであれば等しい。
-複素数では、加算、減算、乗算、積、および拡張の既知の演算が実行され、別の複素数になります。
複素数の表現
複素数はさまざまな方法で表すことができます。主なものは次のとおりです。
-二項形式
これは最初に与えられた形式であり、zは複素数、aは実数部、bは虚数部、iは虚数単位です。
または：
複素数をグラフ化する1つの方法は、この図に示す複素平面を使用することです。虚軸Imは垂直ですが、実軸は水平であり、Reと表されます。
複素数zは、この平面では座標（x、y）または（a、b）の点として表されます。これは、実際の平面の点で行われるためです。
原点から点zまでの距離は、rで表される複素数の係数であり、φは、rが実軸となす角度です。
図3.複素平面での複素数の表現。出典：ウィキメディア・コモンズ。
この表現は、実平面のベクトルの表現と密接に関連しています。rの値は複素数の係数に対応します。
-ポーラーシェイプ
極形式は、rとφの値を与えることで複素数を表現することで構成されます。図を見ると、rの値は直角三角形の斜辺に対応しています。脚はaとb、またはxとyの価値があります。
二項形式または二項形式から、次の方法で極形式に移動できます。
角度φは、セグメントrと水平軸または虚軸とのなす角度です。これは、複素数引数として知られています。この方法では：
引数は無限大の値を持ち、2πラジアンに相当するターンが回されるたびに、rは同じ位置を占めることを考慮に入れます。この一般的な方法では、Arg（z）で表されるzの引数は次のように表されます。
ここで、kは整数であり、回転数を示すために使用されます：2、3、4…。記号は、時計回りまたは反時計回りの回転方向を示します。
図4.複素平面での複素数の極座標表現。出典：ウィキメディア・コモンズ。
そして、極形式から二項形式に移動する場合は、三角比を使用します。前の図から、次のことがわかります。
x = r cosφ
y = r sinφ
このようにして、z = r（cosφ+ i sinφ）
これは次のように省略されます：
z = r cisφ
複素数の例
次の複素数は二項形式で与えられます：
a）3 + i
b）4
d）-6i
そして、これらは順序付けられたペアの形で：
a）（-5、-3）
b）（0、9）
c）（7.0）
最後に、このグループは極または三角法の形で与えられます：
a）√2cis45º
b）√3cis30º
c）2シス315º
それらは何のため？
複素数の有用性は、最初に示した2次方程式を解くことを超えています。これは、複素数が工学および物理学の分野、特に次の分野で不可欠であるためです。
-電磁波の研究
-交流と電圧の分析
-あらゆる種類の信号のモデリング
-相対性理論。時間は架空の大きさとして想定されます。
複素数演算
複素数を使用すると、実際の操作で実行されるすべての操作を実行できます。加算や減算など、数が2項形式の場合、いくつかの方法はより簡単です。対照的に、乗算と除算は、極座標形式で実行するとより簡単になります。
いくつかの例を見てみましょう：
-例1
z 1 = 2 + 5iおよびz 2 = -3 -8iを追加します
解決
実部は虚部とは別に追加されます。
z 1 + z 2 =（2 + 5i）+（-3 -8i）= -1 -3i
-例2
z 1 = 4 cis45ºとz 2 = 5 cis120ºを掛けます
解決
極座標または三角関数の形式の2つの複素数の積は、次のように与えられます。
z 1。Z 2 = R 1・R 2シス（φ 1 +φ 2）
これによれば：
z 1。z 2 =（4×5）シス（45 + 120）= 20シス165º
応用
複素数の単純なアプリケーションは、記事の最初に示したような多項式の根をすべて見つけることです。
式の場合において、X 2 - 10X + 34 = 0、我々は入手解決式を適用します：
したがって、解決策は次のとおりです。
x 1 = 5 + 3i
x 2 = 5-3i
参考文献
- アール、R。複素数。リカバリー元：maths.ox.ac.uk。
- フィゲラ、J。2000。数学1位。多様化。CO-BOエディション。
- ホフマン、J。2005。数学のトピックの選択。モンフォート出版物。
- ヒメネス、R。2008。代数。プレンティスホール。
- ウィキペディア。複素数。から回復：en.wikipedia.org