数学的なロジックや記号論理は、1つの数学的な推論を肯定または拒否することができ、それを通してツールをカバーして数学的な言語です。
数学には曖昧さがないことはよく知られています。数学的な議論を考えると、それは有効であるか、単に無効であるかのいずれかです。それは同時に偽と真になることはできません。
数学の特定の側面は、それが議論の正当性を決定することができる形式的で厳密な言語を持っているということです。特定の推論や数学的証明に反駁できないのは何ですか？それが数学的論理のすべてです。
したがって、ロジックは数学の分野であり、数学的推論と証明を研究し、以前のステートメントまたは命題から正しい結論を推測できるツールを提供します。
これを行うには、公理と後で開発される他の数学的側面を使用します。
起源と歴史
数学的論理の多くの側面に関する正確な日付は不明です。しかし、主題に関する書誌のほとんどは、その起源を古代ギリシャにまで遡ります。
アリストテレス
論理の厳密な扱いの始まりは、一部にはアリストテレスに起因します。アリストテレスは一連の論理の作品を書き、その後、中世までさまざまな哲学者や科学者によって編集および開発されました。これは「古い論理」と考えることができます。
後に現代として知られるライプニッツは、数学的に推論するための普遍的な言語を確立したいという強い願望に感動し、Gottlob FregeやGiuseppe Peanoなどの他の数学者は、特に多大な貢献をして数学的論理の開発に影響を与えましたその中には、自然数の不可欠な特性を定式化するペアノ公理があります。
数学者のGeorge BooleとGeorg Cantorもこの時期に大きな影響を与え、集合論と真理値表で重要な貢献をし、とりわけブール代数（George Booleによる）と選択の公理を強調した（ジョージ・カンターによる）。
よく知られているモーガン法のアウグストゥスデモーガンもあります。これは命題間の否定、論理積、論理和、条件文、シンボリックロジックの開発の鍵、有名なベン図表を備えたジョンベンです。
20世紀、およそ1910年から1913年の間に、ベルトランドラッセルとアルフレッドノースホワイトヘッドは、一連の公理と論理の結果を収集、開発、および推定する一連の本であるPrincipia mathematicaの出版物で際立っています。
数理論理学は何を研究しますか？
命題
数理論理学は命題の研究から始まります。命題は、それが真実であるかどうかにかかわらず、曖昧さなしに言うことができるステートメントです。以下は命題の例です。
- 2 + 4 = 6。
- 5 2 = 35。
- 1930年にヨーロッパで地震がありました。
最初は真のステートメントであり、2番目は偽のステートメントです。3番目は、それを読んでいる人がそれが真実であるかすぐにわからないかもしれませんが、テストしてそれが本当に起こったかどうかを判断できるステートメントです。
以下は命題ではない式の例です。
- 彼女は金髪です。
- 2x = 6。
- 遊ぼう！
- 映画が好きですか
最初の命題では、「彼女」が誰であるかは明記されていないため、何も断言できません。2番目の命題では、「x」が表すものは指定されていません。代わりに、ある自然数xに対して2x = 6と言われた場合、この場合、x = 3の場合は満たされるため、実際にはtrueの命題に対応します。
最後の2つのステートメントは、それらを否定または確認する方法がないため、命題に対応していません。
よく知られている論理接続詞（またはコネクター）を使用して、2つ以上の命題を組み合わせる（または接続する）ことができます。これらは：
- 否定：「雨は降っていません。」
- Disjunction：「ルイサは白か灰色のバッグを買いました。」
- 論理積：「4 2 = 16および2×5 = 10」。
- 条件付き：「雨が降ったら、今日の午後はジムに行きません。」
- 条件付き：「今日の午後、雨が降らない場合に限り、ジムに行きます。」
以前の接続詞を持たない命題は、単純な（または原子的な）命題と呼ばれます。たとえば、「2は4未満」は単純な命題です。「1 + 3 = 4であり、4は偶数です。」のように、いくつかの接続を持つ命題は複合命題と呼ばれます。
命題によってなされる声明は通常長いので、これまで見られたように常にそれらを書くことは退屈です。このため、記号言語が使用されます。命題は通常、P、Q、R、Sなどの大文字で表されます。そして、次のような象徴的な接続詞：
そのため
条件付き命題の逆
命題です
そして、命題の逆数（または反対）
命題です
真理値表
ロジックのもう1つの重要な概念は、真理値表の概念です。命題の真理値は、命題の2つの可能性です：真（これはVで示され、その真理値はVであると言われます）または偽（Fで示され、その値であると言われます）本当にFです）。
複合命題の真理値は、それに含まれる単純な命題の真理値にのみ依存します。
より一般的に機能するために、特定の命題ではなく、命題を表す命題変数p、q、r、sなどを考慮します。
これらの変数と論理接続詞を使用して、複合命題が構築されるように、よく知られている命題公式が形成されます。
命題式に現れる各変数が命題に置き換えられると、複合命題が得られます。
以下は、論理接続詞の真理値表です。
真理値表で値Vのみを受け取る命題式があります。つまり、真理値表の最後の列には値Vしかありません。これらのタイプの式はトートロジーと呼ばれます。例えば：
以下は式の真理値表です
式αは、βがtrueになるたびにαがtrueである場合、論理的に別の式βを意味すると言われています。つまり、αとβの真理値表で、αにVがあり、βにもVがある行に注目します。αの値がVである行にのみ関心があります。論理的含意の表記は次のとおりです。 ：
次の表は、論理的含意のプロパティをまとめたものです。
2つの命題公式は、それらの真理値表が同一である場合、論理的に同等であると言われます。次の表記法は、論理的同等性を表すために使用されます。
次の表は、論理的等価の特性をまとめたものです。
数学的論理の種類
ロジックにはさまざまなタイプがあります。特に、哲学を指す実用的または非公式のロジックを考慮に入れる場合は特にそうです。
数学に関する限り、ロジックのタイプは次のように要約できます。
- 正式またはアリストテレスの論理（古代の論理）。
- 命題論理：それは形式的で象徴的な言語を使用して、議論と命題の有効性に関連するすべての研究を担当します。
- シンボリックロジック：正式なシンボリック言語を使用したセットとそのプロパティの研究に焦点を当て、命題ロジックと深くリンクしています。
- 組み合わせロジック：最近開発されたものの1つで、アルゴリズムを使用して開発できる結果が含まれます。
- 論理プログラミング：さまざまなパッケージおよびプログラミング言語で使用されます。
地域
それらの推論と議論の発展において不可欠な方法で数学的論理を利用する領域の中で、哲学、集合論、数論、代数的建設的数学とプログラミング言語を際立たせます。
参考文献
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