級数は変数xのべき乗の形での用語の総和から成る、またはより一般的には、cは定数実数XCの。総和表記では、一連の累乗は次のように表されます。
ここで、係数a o、a 1、a 2 …は実数で、系列はn = 0から始まります。
図1.べき級数の定義。出典：F. Zapata。
この級数は定数である値cを中心としますが、cが0に等しくなるように選択できます。この場合、べき級数は次のように簡略化されます。
シリーズは、それぞれa または（xc）0およびa または x 0で始まります。しかし、私たちはそれを知っています：
（xc）0 = x 0 = 1
したがって、a o（xc）0 = a または x 0 = a o（独立項）
べき級数の良いところは、関数を関数で表現できることです。これには、特に複雑な関数を操作する場合に、多くの利点があります。
この場合、関数を直接使用する代わりに、べき級数展開を使用します。これにより、数値の導出、統合、または作業が容易になります。
もちろん、すべてがシリーズの収束に条件付けられています。系列は、特定の多数の項を追加して固定値を与えると収束します。さらに用語を追加しても、その値は引き続き取得されます。
べき級数として機能
べき級数で表される関数の例として、f（x）= e xを取り上げます。
この関数は、次のように一連の累乗で表すことができます。
そしてX ≈1 + X +（X 2 /2]）+（X 3 /3]）+（X 4 /4]）+（X 5 /5！）+···
どこ！= n。（n-1）。（n-2）。（n-3）…そして、それは0をとります！= 1。
電卓を使用して、シリーズが実際に明示的に指定された関数と一致することを確認します。たとえば、x = 0にすることから始めましょう。
e 0 = 1であることがわかります。シリーズの機能を見てみましょう。
そして0 ≈1 + 0 +（0 2 /2]）+（0 3 /3]）+（0 4 /4]）+（0 5 /5！）+···= 1を
そして、x = 1を試してみましょう。電卓はe 1 = 2.71828を返し、次にシリーズと比較してみましょう。
そして1 ≈1 + 1 +（1 2 /2！）+（1 3 /3]）+（1 4 /4]）+（1 5 + 0.0083 / 5！）+ … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 +…≈2.7167
5項のみで、e≈2.71で完全に一致しています。私たちのシリーズはもう少し残っていますが、より多くの用語が追加されると、シリーズは確かにeの正確な値に収束します。n→∞の場合、表現は正確です。
n = 2について前の分析を繰り返すと、非常に類似した結果が得られます。
このようにして、指数関数f（x）= e xは、この一連のべき乗で表すことができます。
図2.このアニメーションでは、より多くの項が取られるにつれて、べき級数が指数関数にどのように近づくかを確認できます。出典：ウィキメディア・コモンズ。
幾何学的な累乗
関数f（x）= e xは、べき級数表現をサポートする唯一の関数ではありません。たとえば、関数f（x）= 1/1-xは、よく知られている収束幾何級数によく似ています。
この関数に適した級数を得るには、a = 1とr = xを実行するだけで十分です。これは、c = 0を中心とします。
ただし、この系列は│r│<1に収束することがわかっているため、表現は区間（-1,1）でのみ有効ですが、関数はx = 1を除くすべてのxに対して有効です。
この関数を別の範囲で定義する場合は、適切な値に焦点を合わせるだけで完了です。
関数の累乗の級数展開を見つける方法
x = cですべての次数の導関数がある限り、cを中心とするべき級数で任意の関数を開発できます。この手順では、テイラーの定理と呼ばれる次の定理を利用します。
f（x）を次数nの導関数を持つ関数とします。これはf （n）として示され、区間Iでの累乗の級数展開を許可します。彼のテイラーの連続開発は次のとおりです。
そのため：
一連のn番目の項であるR nは剰余と呼ばれます。
c = 0の場合、シリーズはMaclaurinシリーズと呼ばれます。
ここで与えられたこのシリーズは、最初に与えられたシリーズと同一ですが、次のように各項の係数を明示的に見つける方法があります。
ただし、シリーズが表現される関数に収束することを確認する必要があります。すべてのテイラー級数がnで係数を計算するときに念頭に置いていたf（x）に必ずしも収束するとは限りません。
これはおそらく、x = cで評価された関数の導関数が、x = cでも別の導関数の同じ値と一致するためです。この場合、係数は同じになりますが、どの関数に対応するかは不明であるため、開発はあいまいになります。
幸いなことに、知る方法があります。
収束基準
あいまいさを避けるために、区間Iのすべてのxに対してR n →0をn→∞とすると、級数はf（x）に収束します。
運動
-演習問題1
c = 0を中心とする関数f（x）= 1/2-xの幾何べき級数を求めます。
解決
与えられた関数は、系列が既知である1 / 1- xとできるだけ一致するように表現する必要があります。したがって、元の式を変更せずに、分子と分母を書き換えましょう。
1/2-x =（1/2）/
½は定数なので、合計から得られ、新しい変数x / 2で記述されます。
x = 2は関数の領域に属さないことに注意してください。幾何級数セクションで指定された収束基準によれば、展開は│x/2│<1または同等に-2 <x <2に対して有効です。
-練習問題2
関数f（x）= sin xのMaclaurin級数展開の最初の5項を見つけます。
解決
ステップ1
最初は派生物です：
-次数0の導関数：同じ関数f（x）= sin x
-一次導関数：（sin x） ´= cos x
-二次微分：（sin x）´´ =（cos x） ´=-sin x
-三次微分：（sin x）´´´ =（-sen x） ´=-cos x
-4次導関数：（sin x）´´´´ =（-cos x） ´= sin x
ステップ2
次に、Maclaurin展開c = 0と同様に、各導関数はx = cで評価されます。
sin 0 = 0; cos 0 = 1; -罪0 = 0; -cos 0 = -1; 罪0 = 0
ステップ3
係数a nが構築されます。
a o = 0/0！= 0; 1 = 1/1！= 1; a 2 = 0/2！= 0; a 3 = -1 / 3！; 4 = 0/4！= 0
ステップ4
最後に、シリーズは以下に従って組み立てられます。
sin x≈0.x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2-（1/3！）x 3 + 0.x 4 …= x-（1/3！））x 3 +…
読者はもっと用語が必要ですか？さらに、シリーズは関数に近いです。
係数にはパターンがあり、次のゼロ以外の項は5であり、奇数のインデックスを持つすべての項も0とは異なり、符号が交互になるため、次のようになります。
罪x≈x-（1/3！））x 3 +（1/5！））x 5-（1/7！））x 7 +…。
収束することを確認するための演習として残し、商の基準を系列の収束に使用できます。
参考文献
- CK-12 Foundation。パワーシリーズ：関数と操作の表現。リカバリー元：ck12.org。
- Engler、A。2019。積分。リトラル国立大学。
- ラーソン、R。2010。変数の計算。9日。版。マグローヒル。
- 数学フリーテキスト。パワーシリーズ。回収元：math.liibretexts.org。
- ウィキペディア。パワーシリーズ。回復元：es.wikipedia.org。