ボルツァーノ定理機能が閉区間の全ての点において連続的であり、（関数の下で）「a」および「b」の画像は、反対の符号を有することが満たされる場合、「少なくとも1つの点が存在するであろうと述べていますc "開いた間隔（a、b）内。" c "で評価される関数は0になります。
この定理は、1850年に哲学者、神学者、数学者のバーナードボルツァーノによって発表されました。この科学者は、今日のチェコ共和国で生まれ、連続関数の特性を正式に証明した歴史上最初の数学者の1人でした。
説明
ボルツァーノの定理は、中間値定理としても知られています。これは、実変数の特定の実関数の特定の値、特にゼロを決定するのに役立ちます。
与えられた関数において、f（x）は続きます。つまり、f（a）とf（b）は曲線で接続されます。ここで、f（a）はx軸の下にあり（負）、f（b）はx軸の上（正）、またはその逆の場合、x軸には、«a»と«b»の間の中間値«c»を表すカットオフポイントがあり、fの値（c） 0になります。
ボルツァーノの定理をグラフィカルに分析すると、ある間隔で定義された連続関数fごとに、f（a）* f（b）が0未満の場合、その関数の根«c»が少なくとも1つ存在することがわかります。間隔の（a、b）。
この定理は、そのオープンインターバルのポイント数を確立するものではなく、少なくとも1つのポイントがあることを示しているだけです。
デモンストレーション
ボルツァーノの定理を証明するために、一般性を失うことなく、f（a）<0およびf（b）> 0であると仮定されます。したがって、f（x）= 0の「a」と「b」の間には多くの値が存在する可能性がありますが、表示する必要があるのは1つだけです。
中点（a + b）/ 2でfを評価することから始めます。f（（a + b）/ 2）= 0の場合、証明はここで終了します。それ以外の場合、f（（a + b）/ 2）は正または負です。
間隔の半分の1つが選択され、極値で評価される関数の符号が異なります。この新しい間隔になります。
ここで、の中間点で評価されたfがゼロでない場合、以前と同じ操作が実行されます。つまり、標識の条件を満たす、この間隔の半分が選択されます。これを新しい間隔とします。
このプロセスを続行すると、次のような2つのシーケンス{an}と{bn}ができます。
{an}は増加し、{bn}は減少しています。
a≤a1≤a2≤…≤an≤…。≤…。≤bn≤…。≤b2≤b1≤b。
各間隔の長さを計算する場合は、次のことを行う必要があります。
b1-a1 =（ba）/ 2。
b2-a2 =（ba）/2²。
…。
bn-an =（ba）/ 2 ^ n。
したがって、nが（bn-an）の無限大に近づくときの制限は0になります。
その{an}を使用して増加と制限があり、{bn}が減少と制限がある場合、次のような値«c»が存在することがわかります。
a≤a1≤a2≤…≤an≤….≤c≤…。≤bn≤…。≤b2≤b1≤b。
anの制限は "c"であり、{bn}の制限も "c"です。したがって、任意のδ> 0の場合、間隔が間隔（c-δ、c +δ）内に含まれるように、常に「n」が存在します。
ここで、f（c）= 0であることを示す必要があります。
f（c）> 0の場合、fは連続的であるため、間隔全体でfが正になるようなε> 0が存在します（c –ε、c +ε）。ただし、前述のように、fがサインインし、さらに（c –ε、c +ε）に含まれるような "n"という値があり、これは矛盾しています。
f（c）<0の場合、fは連続的であるため、区間全体でfが負になるようなε> 0が存在します（c –ε、c +ε）。しかし、fがサインインするような値 "n"が存在します。これは（c –ε、c +ε）内に含まれていることがわかりますが、これも矛盾です。
したがって、f（c）= 0であり、これが証明したかったものです。
それは何のため？
グラフの解釈から、ボルツァーノの定理は、区間を常に2で割るインクリメンタル検索方法である二分法（近似）を通じて、連続関数の根またはゼロを見つけるために使用されます。
次に、間隔が取得されるか、符号の変更が発生する場所で、目的の値に近づくことができるように、間隔が次第に小さくなるまでプロセスが繰り返されます。つまり、関数が0にする値に。
要約すると、ボルツァーノの定理を適用して根を見つけ、関数のゼロ点を制限するか、方程式の解を与えるには、次の手順を実行します。
-fが区間の連続関数かどうかを検証します。
-間隔が指定されていない場合、関数が連続している場所を見つける必要があります。
-fで評価したときに、間隔の両端が反対の符号を示すかどうかが検証されます。
-反対の符号が得られない場合、間隔は中点を使用して2つの部分間隔に分割する必要があります。
-関数を中間点で評価し、ボルツァーノ仮説が満たされていることを確認します。ここで、f（a）* f（b）<0です。
-見つかった値の符号（正または負）に応じて、前述の仮説が満たされるまで、新しいサブインターバルでプロセスが繰り返されます。
解決された演習
演習1
関数f（x）= x 2-2が区間内に少なくとも1つの実数解をもつかどうかを決定します。
解決
関数f（x）= x 2-2があります。これは多項式であるため、任意の間隔で連続であることを意味します。
区間に実際の解があるかどうかを判断するように求められるので、関数の区間の極値を置き換えるだけで、これらの符号を知り、それらが異なるという条件を満たすかどうかを知るだけです。
F（X）= X 2 - 2
F（1）1 = 2 2 = -1（負） -
F（2）= 2 2 - = 2 2（正）
したがって、fの符号（1）≠f（2）の符号。
これにより、間隔に属する少なくとも1つの点 "c"が存在することが保証されます。ここで、f（c）= 0です。
この場合、「c」の値は次のように簡単に計算できます。
x 2-2 = 0
x =±√2。
したがって、√2≈1,4は区間に属し、f（√2）= 0を満たします。
演習2
方程式x 5 + x + 1 = 0に少なくとも1つの実数解があることを示します。
解決
最初に、f（x）= x 5 + x + 1は多項式関数であることに注意してください。これは、すべての実数で連続であることを意味します。
この場合、間隔は指定されないため、関数を評価して符号の変化を見つけるには、値を直感的に、できれば0に近い値に選択する必要があります。
間隔を使用する場合は、次のことを行う必要があります。
f（x）= x 5 + x + 1。
f（0）= 0 5 + 0 + 1 = 1> 0。
f（1）= 1 5 + 1 + 1 = 3> 0。
符号の変化がないため、このプロセスは別の間隔で繰り返されます。
間隔を使用する場合は、次のことを行う必要があります。
f（x）= x 5 + x + 1。
f（-1）=（-1）5 +（-1）+ 1 = -1 <0。
f（0）= 0 5 + 0 + 1 = 1> 0。
この区間では、符号の変更があります：f（-1）の符号f f（0）の符号。これは、関数f（x）= x 5 + x + 1に少なくとも1つの実根«c»があることを意味しますつまり、f（c）= 0のような区間内です。つまり、x 5 + x + 1 = 0が区間内で実数の解を持つことは事実です。
参考文献
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