- ベクトルの要素
- ベクトルの長方形コンポーネント
- ベクトルの極形式
- タイプ
- 直交単位ベクトル
- ベクトル加算
- ベクトル加算のプロパティ
- ベクトルの例
- ベクトル間のその他の操作
- スカラーとベクトルの積
- ベクトル間のドット積またはドット積
- ベクトル間の外積またはベクトル積
- 単位ベクトル間の外積
- 解決された演習
- -演習1
- 解決
- -演習2
- 解決
- 参考文献
ベクターには、一般的によく測定ユニット-positiva-大きさと方向を伴っている数学的な実体です。このような特性は、速度、力、加速度などの物理量を記述するのに非常に適しています。
ベクトルを使用すると、加算、減算、積などの演算を実行できます。除算はベクトルに対して定義されていません。積については、後で説明する3つのクラスがあります。点積または点、ベクトル積またはクロス、およびベクトルによるスカラーの積です。
図1.ベクトルの要素。出典：ウィキメディア・コモンズ。
ベクトルを完全に説明するには、そのすべての特性を示す必要があります。マグニチュードまたはモジュールは単位を伴う数値であり、方向と感覚は座標系を使用して確立されます。
例を見てみましょう：飛行機がある都市から別の都市へ、時速850 kmで北東方向に飛んでいるとします。マグニチュードが利用可能であるため、ここでは完全に指定されたベクトルがあります。方向と感覚はNEであり、850 km / hです。
ベクトルは通常、長さがマグニチュードに比例する方向付けられたラインセグメントによってグラフィカルに表されます。
方向と感覚を指定するには、基準線が必要ですが、これは通常は水平軸ですが、北を基準とすることもできます。これは、飛行機の速度の場合です。
図2.速度ベクトル。出典：F. Zapata。
図に示す面の速度ベクトルは、として示されるVに太字のみ数値と指定するいくつかの手段を必要とスカラー量、からそれを区別するために、。
ベクトルの要素
すでに述べたように、ベクトルの要素は次のとおりです。
-マグニチュードまたはモジュール。ベクトルの絶対値またはノルムとも呼ばれます。
-住所
-センス
図2の例では、vの係数は850 km / hです。-弾性率は太字、又は無しVとして示されるVバーは絶対値を表し、 - 。
vの方向は北を基準に指定されます。この場合、東北45度（北東45度）です。最後に、矢印の先端はvの意味を知らせます。
この例では、ベクトルの原点は座標系の原点Oと一致して描かれています。これはリンクされたベクトルと呼ばれます。一方、ベクトルの原点が参照系の原点と一致しない場合は、フリーベクトルと呼ばれます。
ベクトルを完全に指定するには、これらの3つの要素に注意する必要があります。そうしないと、ベクトルの説明が不完全になります。
ベクトルの長方形コンポーネント
図3.平面内のベクトルの長方形コンポーネント。出典：ウィキメディア・コモンズ。ウランサー
画像には、xy平面にあるベクトルvの例が戻されています。
x座標軸とy座標軸上のvの投影が直角三角形を決定することは簡単にわかります。これらの投影はv yと v xであり、vの長方形コンポーネントと呼ばれます。
長方形のコンポーネントでvを表す1つの方法は次のとおりです。v =
ベクトルが3次元空間にある場合、もう1つのコンポーネントが必要になるため、次のようになります。
v =
脚のVである直角三角形の斜辺発見に相当するベクトルの大きさが算出される長方形の成分、知るXとV とを 、。ピタゴラスの定理により、次のようになります。
ベクトルの極形式
ベクトルの大きさとき- 、V - 、それが基準軸、一般に水平軸となす角度θが、知られている、ベクターはまた、指定されています。その場合、ベクターは極性の形で発現すると言われています。
この場合の長方形コンポーネントは簡単に計算されます。
上記によれば、平面の速度ベクトルvの長方形成分は次のようになります。
タイプ
ベクトルにはいくつかの種類があります。速度、位置、変位、力、電界、運動量などのベクトルがあります。すでに述べたように、物理学には多数のベクトル量があります。
特定の特性を持つベクターについては、次のタイプのベクターに言及できます。
-Null：これらは、大きさが0であり、0として表されるベクトルです。太字はベクトルの3つの基本的な特性を表し、通常の文字はモジュールのみを表すことに注意してください。
たとえば、静的平衡状態のボディでは、力の合計はnullベクトルでなければなりません。
- フリーおよびリンク：フリーベクトルは、原点と到着点が平面または空間内の任意のペアの点であるベクトルです。リンクされたベクトルとは異なり、原点はそれらを記述するために使用される参照システムの原点と一致します。
カップルは特定の点に適用されないため、カップルが生成するカップルまたはモーメントは、自由ベクトルの良い例です。
- Equipolentesを：彼らは同じ特性を共有する2つの無料のベクトルです。したがって、それらは等しい大きさ、方向、感覚を持っています。
- 同一平面または同一平面：同じ平面に属するベクトル。
- 反対：大きさと方向は同じだが方向が反対のベクトル。ベクターの反対のベクトルvが、ベクトルである- V両者の和が零ベクトルである：V（ - + V）= 0。
- 同時：作用線がすべて同じ点を通過するベクトル。
- スライダー：そのアプリケーション点特定のラインに沿ってスライドすることができ、それらのベクターです。
- 同一直線上：同じ線上にあるベクトル。
- ユニタリー：モジュールが1のベクター
直交単位ベクトル
物理学には、直交単位ベクトルと呼ばれる非常に便利なタイプのベクトルがあります。直交単位ベクトルは1に等しいモジュールを持ち、単位は任意、たとえば速度、位置、力などの単位にすることができます。
他のベクトルを簡単に表現し、それらを使用して操作を実行するのに役立つ特別なベクトルのセットがあります。これらは、互いに直交する単位ベクトルi、jおよびkです。
2次元では、これらのベクトルは、x軸とy軸の両方の正の方向に沿っています。また、3次元では、正のz軸の方向に単位ベクトルが追加されます。それらは次のように表されます。
i = <1、0.0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
ベクトルは、次のように単位ベクトルi、j、およびkで表すことができます。
v = v x i + v y j + v z k
たとえば、前の例の速度ベクトルvは次のように書くことができます。
v = 601.04 i + 601.04 j km / h
このベクトルは平面上にあるため、kの成分は必要ありません。
ベクトル加算
ベクトルの合計は、さまざまな状況で非常に頻繁に表示されます。たとえば、さまざまな力の影響を受けるオブジェクトに対する合力を見つけたい場合などです。まず、左側の次の図に示すように、平面上に2つの自由ベクトルuとvがあるとします。
図4. 2つのベクトルのグラフィック合計。出典：ウィキメディア・コモンズ。Lluc cabanach。
大きさ、方向、センスを変更せずに、ベクトルvにすぐに注意深く転送されます。これにより、その原点がuの端と一致します。
ベクトルの合計はwと呼ばれ、右の図に従って、uで始まりvで終わるように描かれます。ベクトルwの大きさは、必ずしもvとuの大きさの合計ではないことに注意してください。
注意深く考えると、結果のベクトルの大きさが加数の大きさの合計になるのは、両方の加数が同じ方向にあり、同じ意味を持つ場合だけです。
そして、ベクターが無料でない場合はどうなりますか？それらを追加することも非常に簡単です。それを行う方法は、コンポーネントにコンポーネントを追加すること、または分析方法です。
例として、次の図のベクトルを考えてみましょう。最初に、前述のデカルトの方法の1つでベクトルを表現します。
図5. 2つのリンクされたベクトルの合計。出典：ウィキメディア・コモンズ。
v = <5.1>
u = <2,3>
合計ベクトルのx成分得るためにWを、それぞれのX成分加算VおよびUを：W 、X = 5 + 2 = 7。そして、w yを取得するには、類似の手順に従います：w y = 1 + 3。したがって：
u = <7.4>
ベクトル加算のプロパティ
-2つ以上のベクトルを合計すると、別のベクトルになります。
-可換であり、加数の順序は合計を変更しません。
u + v = v + u
-ベクトルの和の中立要素はnullベクトルです：v + 0 = v
-：2つのベクトルの減算は反対の合計として定義されるU - 、V = V + （-u）
ベクトルの例
すでに述べたように、物理学には多数のベクトル量があります。最もよく知られているものは次のとおりです。
-ポジション
-変位
-平均速度と瞬間速度
-加速度
-力
-動きの量
-トルクまたは力のモーメント
-衝動
-電界
-磁場
-磁気モーメント
一方、これらはベクトルではなくスカラーです。
-天気
-質量
-温度
-ボリューム
-密度
-機械作業
-エネルギー
-ホット
-力
-電圧
-電流
ベクトル間のその他の操作
ベクトルの加算と減算に加えて、ベクトル間には3つの非常に重要な演算があります。これは、これらの演算が新しい非常に重要な物理量を生み出すためです。
-ベクトルによるスカラーの積。
-ベクトル間の内積または内積
-2つのベクトル間のクロス積またはベクトル積。
スカラーとベクトルの積
力Fと加速度aは比例するというニュートンの第2法則を考えます。比例定数はオブジェクトの質量mであるため、次のようになります。
F = m。に
質量はスカラーです。その一部として、力と加速度はベクトルです。力は、質量に加速度を掛けることによって得られるため、スカラーとベクトルの積の結果です。
このタイプの積は常にベクトルになります。もう1つの例は、動きの量です。ましょうPはである運動量ベクトル、V速度ベクトル、といつものように、mは質量です。
P = m。v
ベクトル間のドット積またはドット積
ベクトルではない数量のリストに機械的な作業を加えました。ただし、物理学の仕事は、スカラー積、内積、またはドット積と呼ばれるベクトル間の演算の結果です。
ベクトルvとuを使って、それらの間のドットまたはスカラー積を次のように定義します。
V ∙ U = - V - ∙ - U -.cosθ
ここで、θは2つの間の角度です。示されている方程式から、内積の結果はスカラーであり、両方のベクトルが垂直である場合、それらの内積は0になることがすぐにわかります。
バックメカニカルワークWには、これは、力ベクトルとのスカラー積であるFと変位ベクトルℓ。
ベクトルがそれらの成分に関して利用可能であるとき、内積は計算することも非常に簡単です。v =の場合
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
ベクトル間の内積は可換なので、次のようになります。
v ∙ u = u ∙ v
ベクトル間の外積またはベクトル積
場合は、Vおよび uは我々の2つの例のベクトルであり、我々はとベクトルの積を定義します。
v x u = w
その直後に、外積の結果として、係数が次のように定義されるベクトルが生成されます。
ここで、θはベクトル間の角度です。
外積は可換ではないため、v x u≠u x vです。実際、v x u =-（u x v）。
2つの例のベクトルが単位ベクトルで表されている場合、ベクトル積の計算が容易になります。
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
単位ベクトル間の外積
同一の単位ベクトル間の角度は0ºなので、同一の単位ベクトル間の外積はゼロです。しかし、異なる単位ベクトル間では、それらの間の角度は90ºであり、sin90º= 1です。
次の図は、これらの製品を見つけるのに役立ちます。矢印の方向には正の方向があり、反対の方向には負の方向があります。
i x j = k、j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j
ベクトル間の積と単位ベクトルのプロパティに引き続き有効な分布プロパティを適用すると、次のようになります。
v x u =（v x i + v y j + v z k）x（u x i + u y j + u z k）=
解決された演習
-演習1
与えられたベクトル：
v = -5 i + 4 j + 1 k
u = 2 i -3 j + 7 k
合計v + u + wが 6 i +8 j -10 kになるためには、ベクトルwは何でなければなりませんか？
解決
したがって、次の条件を満たす必要があります。
答えは次のとおりです。w = 9 i +7 j -18 k
-演習2
演習1のベクトルvとuの間の角度は？
解決
ドット積を使用します。定義から：
v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15
これらの値を置き換える：
参考文献
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- Giancoli、D。2006。物理学：アプリケーションの原則。6日。エドプレンティスホール。
- レックス、A。2011。基礎物理学。ピアソン。
- シアーズ、ゼマンスキー。2016.現代物理学を備えた大学物理学。14日。Ed。Volume 1。
- Serway、R.、Jewett、J。2008。理学と工学のための物理学。第1巻。Ed。Cengage Learning。