分析幾何学の歴史的な前例は、ピエール・ド・フェルマーとルネ・デカルトがその基本的な考えを定義した17世紀にまでさかのぼります。彼の発明は、フランソワビエトの代数と代数表記の近代化に続きました。
この分野は、古代ギリシャ、特にこの数学の領域に大きな影響を与えたアポロニウスとユークリッドの作品に拠点を置いています。
分析ジオメトリの背後にある本質的なアイデアは、2つの変数間の関係（一方が他方の関数であるなど）が曲線を定義することです。
このアイデアは最初にピエール・ド・フェルマーによって開発されました。この重要なフレームワークのおかげで、アイザックニュートンとゴットフリートライプニッツは、計算を開発することができました。
フランスの哲学者デカルトも幾何学への代数的アプローチを発見しました。デカルトの幾何学に関する研究は、著書「メソッドに関する談話」に掲載されています。
この本は、コンパスと直線エッジの幾何学的構成には、加算、減算、乗算、平方根が含まれることを指摘しています。
分析幾何学は、数学における2つの重要な伝統の結合を表します。形状の研究としての幾何学と、数量または数値に関係する算術および代数です。したがって、分析ジオメトリは、座標系を使用したジオメトリのフィールドの研究です。
歴史
分析ジオメトリの背景
幾何学と代数の関係は数学の歴史を通じて進化してきましたが、幾何学は成熟の初期段階に達しました。
たとえば、ギリシャの数学者ユークリッドは、彼の古典的な本「エレメント」で多くの結果を整理することができました。
しかし、彼の著書 『コニックス』で分析幾何学の発達を予測したのは、ペルガの古代ギリシャのアポロニウスでした。彼は円錐と平面との間の交点として円錐を定義しました。
ユークリッドの結果を類似の三角形と円の割線で使用して、円錐の任意の点「P」から2つの垂直線までの距離、円錐の主軸、および軸の終点の接線によって与えられる関係を見つけました。アポロニウスはこの関係を利用して、円錐曲線の基本的な特性を推定しました。
その後の数学における座標系の発展は、イスラムとインドの数学者のおかげで代数が成熟した後に初めて現れました。
ルネサンスまで、幾何学は代数問題の解決策を正当化するために使用されていましたが、代数が幾何学に寄与できることはあまりありませんでした。
この状況は、代数的関係の便利な表記法の採用と数学関数の概念の発展によって変化し、現在では可能でした。
センチュリーXVI
16世紀の終わりに、フランスの数学者FrançoisVièteが最初の体系的な代数表記を導入しました。文字を使用して、既知および未知の数値量を表します。
彼はまた、代数式を処理し、代数方程式を解くための強力な一般的な方法を開発しました。
これのおかげで、数学者は問題を解決するために幾何学図形と幾何学的直観に完全に依存していませんでした。
一部の数学者でさえ、標準の幾何学的な考え方を放棄し始めました。長さや四角形の線形変数は面積に対応し、三次変数は体積に対応しています。
この一歩を踏み出した最初の人物は、哲学者であり数学者であるルネデカルト、そして弁護士であり数学者でもあるピエールドゥフェルマーでした。
分析ジオメトリの基礎
デカルトとフェルマーは独立して1630年代に解析幾何学を設立し、軌跡の研究にヴィーテ代数を採用しました。
これらの数学者たちは、代数が幾何学の強力なツールであることを認識し、今日分析幾何学として知られているものを発明しました。
彼らが作った画期的なことの1つは、文字を使用して固定ではなく可変の距離を表すことで、ヴィエテを超えることでした。
デカルトは方程式を使用して幾何学的に定義された曲線を研究し、多項方程式の一般的な代数グラフの曲線を次数「x」と「y」で考慮する必要性を強調しました。
フェルマーは彼の側について、座標「x」と「y」の間のあらゆる関係が曲線を決定することを強調しました。
これらのアイデアを使用して、彼は代数的用語に関するアポロニウスの声明を再構成し、彼の失われた仕事の一部を復元しました。
フェルマーは、 "x"と "y"の二次方程式は、いずれかの円錐セクションの標準形式で配置できることを示しました。それにもかかわらず、フェルマーはこの主題に関する彼の研究を発表したことはありません。
彼らの進歩のおかげで、アルキメデスは非常に困難な方法でしか解決できず、孤立したケースでは、FermatとDescartesは多数の曲線（現在は代数曲線として知られています）をすばやく解決できました。
しかし、彼の考えは、17世紀後半に他の数学者の努力によってのみ一般に受け入れられました。
数学者のフラン・ファン・スクーテン、フロリモンド・ド・ボーヌ、ヨハン・デ・ウィットは、デカルトの研究を拡大し、重要な資料を追加しました。
影響
イングランドでは、ジョンウォリスが分析ジオメトリを普及させました。彼は方程式を使って円錐曲線を定義し、それらの特性を導き出しました。彼は負の座標を自由に使用しましたが、2つの斜めの軸を使用して平面を4つの象限に分割したのはIsaac Newtonでした。
ニュートンとドイツのゴットフリートライプニッツは、17世紀の終わりに、独立して微積分の力を実証することによって数学に革命をもたらしました。
ニュートンは、立方体（または3次の代数曲線）に適切な座標軸の3つまたは4つの標準方程式があると主張したときに、幾何学における解析手法の重要性と微積分におけるそれらの役割を示しました。スコットランドの数学者ジョンスターリングは、ニュートン自身の助けを借りて、1717年にそれを証明しました。
3次元以上の分析ジオメトリ
デカルトとフェルマーの両方が3つの座標を使用して空間内の曲線と表面を研究することを提案しましたが、3次元の解析ジオメトリは1730年までゆっくりと発展しました。
数学者のオイラー、ヘルマン、クレラウトは、円柱、円錐、回転面の一般方程式を作成しました。
たとえば、オイラーは空間での平行移動の方程式を使用して、一般的な2次曲面を変換し、その主軸がその座標軸と一致するようにしました。
Euler、Joseph-Louis Lagrange、およびGaspard Mongeは、分析ジオメトリを合成（非分析）ジオメトリから独立させました。
参考文献
- 分析ジオメトリの開発（2001）。encyclopedia.comから復元
- 分析ジオメトリの歴史（2015）。maa.orgから回復
- 分析（数学）。britannica.comから復元
- 分析ジオメトリ。britannica.comから復元
- デカルトと分析幾何学の誕生。sciencedirect.comから復元