同一平面上の点はすべて同じ平面に属します。2つの点は常に同一平面上にあります。これらの点は、無限平面が通過する線を定義するためです。次に、両方の点は線を通過する各平面に属しているため、常に同一平面になります。
一方、3つの点は単一の平面を定義し、そこから3つの点は常に、それらが決定する平面と同一平面上にあります。
図1. A、B、C、Dは（Ω）平面と同一平面上にあります。E、F、Gは（Ω）と同一平面ではありませんが、それらが定義する平面と同一平面です。出典：F. Zapata。
4つ以上の点は、同一平面上にあってもなくてもかまいません。たとえば、図1のポイントA、B、C、Dは平面（Ω）と同一平面上にあります。しかし、E、F、Gは（Ω）と同一平面ではありませんが、それらが定義する平面と同一平面です。
3つの点が与えられた平面の方程式
3つの既知の点A、B、Cによって決定される平面の方程式は、方程式を満たす一般的な座標（x、y、z）を持つ任意の点Pがその平面に属することを保証する数学的関係です。
前のステートメントは、座標（x、y、z）のPが平面の方程式を満たす場合、その点は平面を決定した3つの点A、B、Cと同一平面になるということと同じです。
この平面の方程式を見つけるには、ベクトルABとACを見つけることから始めましょう。
AB =
AC =
ベクトル積AB X ACは、点A、B、Cによって決定される平面に垂直または垂直なベクトルになります。
ベクトルAPがベクトルAB X ACに垂直である場合、座標（x、y、z）を持つ任意の点Pは平面に属します。これは、次の場合に保証されます。
AP•（AB X AC） = 0
これは、AP、AB、およびACの3つの積がゼロであると言うことと同じです。上記の方程式は行列形式で書くことができます：
例
点A（0、1、2）; B（1、2、3）; C（7、2、1）およびD（a、0、1）。4つの点が同一平面上にあるために必要な値は何ですか？
解決
aの値を見つけるには、点DはA、B、Cによって決定される平面の一部である必要があります。これは、平面の方程式を満たす場合に保証されます。
私たちが持っている決定要因を開発する：
前の方程式は、等式が満たされるためにa = -1であることを示しています。言い換えれば、点D（a、0,1）が点A、B、Cと同一平面上にある唯一の方法は、aが-1であることです。それ以外の場合は、同一平面上にありません。
解決された演習
-演習1
平面は、デカルト軸X、Y、Zとそれぞれ1、2、3で交差します。この平面と軸との交点が点A、B、Cを決定します。デカルト成分が次のとおりである点Dの成分Dzを見つけます。
Dが点A、B、Cと同一平面上にある場合。
解決
デカルト軸を持つ平面の切片がわかっている場合、平面の方程式のセグメント形式を使用できます。
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
点Dは前の平面に属している必要があるため、次のようにする必要があります。
-Dz / 1 +（Dz + 1）/ 2 + Dz / 3 = 1
つまり、
-Dz + Dz / 2 +½+ Dz / 3 = 1
Dz（-1 +½+⅓）=½
Dz（-1 /6⅙）=½
Dz = -3
上記から、点D（3、-2、-3）は点A（1、0、0）と同一平面上にあることになります。B（0、2、0）およびC（0、0、3）。
-演習2
点A（0、5、3）; B（0、6、4）; C（2、4、2）とD（2、3、1）は同一平面上にあります。
解決
行がDA、BA、CAの座標である行列を形成します。次に、行列式が計算され、それがゼロかどうかが検証されます。
すべての計算を実行した後、それらは同一平面上にあると結論付けられます。
-演習3
スペースには2本の線があります。それらの1つは、パラメトリック方程式が次のような線（R）です。
そしてもう1つは、方程式が次のとおりである線（S）です。
（R）と（S）が同一平面上にある、つまり同じ平面上にあることを示します。
解決
ライン（R）とライン（S）の2つのポイントを任意に取ることから始めましょう。
ライン（R）：λ= 0; A（1、1、1）およびλ= 1; B（3、0、1）
行（x）でx = 0とする=> y =½; C（0、½、-1）。一方、y = 0 => x = 1とすると、D（1、0、-1）。
つまり、直線（R）に属する点AとB、および直線（S）に属する点CとDをとります。それらの点が同一平面上にある場合、2つの線も同じになります。
ここで、ピボットとして点Aを選択し、次にベクトルAB、AC、およびADの座標を見つけます。このようにして、以下を取得します。
B-A：（3-1、0 -1、1-1）=> AB =（2、-1、0）
C-A：（0-1、1/2 -1、-1-1）=> AC =（-1、-1/2 、-2）
D-A：（1-1、0 -1、-1-1）=> AD =（0、-1、-2）
次のステップは、最初の行がベクトルABの係数で、2番目の行がACの係数、3番目の行がベクトルADの係数である行列式を作成して計算することです。
行列式がnullであることが判明したため、4つの点が同一平面上にあると結論付けることができます。さらに、線（R）と（S）も同一平面上にあると言えます。
-演習4
演習3で示されているように、線（R）と（S）は同一平面上にあります。これらを含む平面の方程式を見つけます。
解決
点A、B、Cはその平面を完全に定義しますが、座標（x、y、z）の任意の点Xがその平面に属するように強制します。
XがA、B、Cによって定義され、線（R）と（S）が含まれる平面に属するためには、行列式が最初の行でAXの成分によって2番目の行で形成される必要があります。ものによってABおよび第三の中のものによってAC：
この結果に従って、次のようにグループ化します。
2（x-1）+ 4（y-1）-2（z-1）= 0
そしてすぐに、次のように書き換えられることがわかります。
x-1 + 2y-2-z + 1 = 0
したがって、x + 2y-z = 2は、線（R）と（S）を含む平面の方程式です。
参考文献
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