ジオメトリの弧は、2つの点を結ぶ任意の曲線です。曲線は、直線とは異なり、その各点で方向が異なるものです。円弧の反対側はセグメントです。これは、2つのポイントを結ぶ直線セクションであるためです。
ジオメトリで最も頻繁に使用される円弧は、円弧です。一般的に使用されている他のアーチは、放物線アーチ、楕円アーチ、カテナリーアーチです。アーチの形は、装飾的な要素や構造的な要素として建築でも頻繁に使用されます。これは、ドアや窓のまぐさ、橋、水道の場合です。
図1.虹は、地平線上の2点を結ぶ曲線です。出典：Pixabay
アーチとそのメジャー
弧の長さはその長さであり、2点を結ぶ曲線のタイプとその位置によって異なります。
円弧の長さは、円弧全体または円周の周長がわかっているため、計算が最も簡単なものの1つです。
円の周長は、半径の2 pi倍です：p = 2πR。これを知って、角度α（ラジアンで測定）と半径Rの円弧の長さsを計算する場合、比率が適用されます。
（s / p）=（α/ 2π）
次に、前の式からsを消去し、半径Rの関数としての式を周長pに置き換えます。
s =（α/ 2π）p =（α/ 2π）（2πR）=αR
つまり、円弧の測度は、その角度の開口部と円弧の半径の積です。
一般的なアーチの場合、問題はより複雑であり、古代の偉大な思想家がそれは不可能であると主張したほどです。
1665年に微分積分が出現するまで、アークを測定する問題は十分に解決されませんでした。
微分法が発明される前は、真の円弧に近似する円周の円弧または円弧を使用することによってのみ解を見つけることができましたが、これらの解は正確ではありませんでした。
弓の種類
ジオメトリの観点から、弧は平面上の2つの点を結ぶ曲線に従って分類されます。その用途と建築形態に応じて他の分類があります。
円弧
平面内の2点を結ぶ線が特定の半径の円周の一部である場合、円弧があります。図2は、点AとBを結ぶ半径Rの円弧cを示しています。
図2.点Aと点Bを結ぶ半径Rの円弧。リカルドペレスによって作成されました。
放物線アーチ
放物線は、斜めに空中に投げ込まれた物体がたどる経路です。2つの点を結ぶ曲線が放物線である場合、図3に示すような放物線の弧になります。
図3.点AとBを結ぶ放物線弧。リカルドペレスによって作成されました。
これは、上向きのホースから出る水の噴流の形状です。放物線のアーチは水源で観察できます。
図4.ドレスデンの噴水からの水によって形成された放物線アーチ。出典：Pixabay。
カテナリーアーチ
カテナリーアーチは別の自然なアーチです。カテナリーは、チェーンまたはロープが2つの別々のポイントから緩くぶら下がったときに自然に形成される曲線です。
図5.カテナリーアーチと放物線アーチとの比較。リカルドペレスが作成しました。
カテナリーは放物線に似ていますが、図4に見られるものとまったく同じではありません。
逆カテナリーアーチは、建築で高圧縮強度の構造要素として使用されます。実際、それはあらゆる可能な形の中で最も強いタイプの弓であることを示すことができます。
堅固なカテナリーアーチを作成するには、吊るしたロープまたはチェーンの形状をコピーし、コピーした形状を反転してドアまたは窓のまぐさで再現します。
楕円アーチ
2点を結ぶ曲線が楕円の一部である場合、弧は楕円です。楕円は、指定された2つのポイントまでの距離が常に一定量になるポイントの軌跡として定義されます。
楕円は自然界に現れる曲線です。1609年にヨハネスケプラーによって実証された、太陽の周りの惑星の軌道の曲線です。
実際には、2本の支柱を地面に固定するか、紙に2本のピンを固定し、それらに紐を結ぶことで楕円を描くことができます。次に、マーカーまたは鉛筆でロープを締め、曲線をトレースします。楕円の一部は楕円弧です。次のアニメーションは、楕円がどのように描画されるかを示しています。
図5.緊張したロープを使用して楕円をトレースする。出典：ウィキメディア・コモンズ
図6は、点GとHを結ぶ楕円弧を示しています。
図6. 2点を結ぶ楕円アーチ。リカルドペレスが作成しました。
アーチの例
次の例は、特定のアーチの周囲を計算する方法を示しています。
例1
図7は、カットされた円弧で完成したウィンドウを示しています。図に示されている寸法はフィート単位です。弧の長さを見つけます。
図7.ウィンドウの円弧の長さの計算。（独自の注釈-Pixabayのウィンドウ画像）
窓まぐさの円弧の中心と半径を取得するために、画像上で次のような構成が行われています。
-線分KLが描画され、その2等分線が描画されます。
-次に、まぐさの最高点が見つかり、これをMと呼びます。次に、KMセグメントが考慮され、そのMediatrixがトレースされます。
2つの二等分線の切片は点Nであり、円弧の中心でもあります。
-ここで、NMセグメントの長さを測定する必要があります。これは、円弧の半径Rと一致します。R= 2.8フィート。
-半径に加えて円弧の長さを知るには、円弧が形成する角度を知る必要があります。これは、分度器で測定するか、三角法を使用して計算する2つの方法で決定できます。
示されているケースでは、弧によって形成される角度は91.13度であり、ラジアンに変換する必要があります。
91.13º=91.13º*π/180º= 1.59ラジアン
最後に、式s =αRを使用して円弧の長さsを計算します。
s = 1.59 * 2.8フィート= 4.45フィート
例2
図8に示す楕円弧の長さを求めます。楕円の半長軸rと半短軸sがわかります。
図8. GH間の楕円アーチ。リカルドペレスが作成しました。
楕円の長さを見つけることは、長い間数学において最も困難な問題の1つでした。楕円積分で表される解を得ることができますが、数値を得るには、これらの積分をべき級数で展開する必要があります。正確な結果を得るには、これらのシリーズの無限項が必要です。
幸いにも、1887年から1920年まで住んでいたヒンドゥー教の数学の天才であるラマヌジャンは、楕円の周囲を非常に正確に近似する式を見つけました。
r = 3 cmおよびs = 2.24 cmの楕円の周長は16.55 cmです。ただし、表示されている楕円弧はその値の半分です。
楕円アーチの長さGH = 8.28 cm。
参考文献
- Clemens S.2008。幾何学と三角法。ピアソン教育。
- GarcíaF. Javaの数値手続き。楕円の長さ。回収元：sc.ehu.es
- 動的ジオメトリ。弓。geometriadinamica.esから復元
- ピジアダス。私たちの周りの楕円と放物線。から回復：piziadas.com
- ウィキペディア。アーチ（形状）。から回復：es.wikipedia.com