条件付き確率は、他の条件として発生することを考えると、特定のイベントの発生の可能性です。この追加情報は、何かが発生するという認識を変更する場合があります（変更しない場合もあります）。
たとえば、「2日間雨が降っていない場合、今日雨が降る確率はどれくらいですか」と自問することができます。確率を知りたいイベントは、今日雨が降ることであり、答えを条件付ける追加情報は、「2日間雨が降っていない」ということです。
図1.昨日雨が降ったときに今日雨が降る確率も条件付き確率の例です。出典：Pixabay。
確率空間をΩ（サンプル空間）、ℬ（ランダムイベント）、P（各イベントの確率）、およびtoに属するイベントAおよびBで構成します。
Bが発生した場合にAが発生する条件付き確率は、P（A | B）で表され、次のように定義されます。
P（A│B）= P（A∩B）/ P（B）= P（AおよびB）/ P（B）
ここで、P（A）はAの発生確率であり、P（B）はイベントBの確率であり、0とは異なり、P（A∩B）はAとBの交差の確率です。つまり、 、両方のイベントが発生する確率（結合確率）。
これは、1763年に英国の神学者で数学者のトーマスベイズによって提案された2つのイベントに適用されるベイズの定理の表現です。
プロパティ
-すべての条件付き確率は0と1の間です。
0≤P（A│B）≤1
-上記のイベントが発生した場合、イベントAが発生する確率は明らかに1です。
P（A│A）= P（A∩A）/ P（A）= P（A）/ P（A）= 1
-2つのイベントが排他的である場合、つまり同時に発生できないイベントの場合、交差がゼロであるため、それらの1つが発生する条件付き確率は0です。
P（A│B）= P（A∩B）/ P（B）= 0 / P（B）= 0
-BがAのサブセットの場合、条件付き確率も1になります。
P（B│A）= P（A∩B）/ P（A）= 1
重要
P（A│B）は一般にP（B│A）と等しくないため、条件付き確率を見つけるときにイベントを入れ替えないように注意する必要があります。
乗算の一般的なルール
多くの場合、条件付き確率ではなく、結合確率P（A∩B）を求めます。次に、次の定理を通して、
P（A∩B）= P（AおよびB）= P（A | B）。P（B）
この定理は、3つのイベントA、B、Cに拡張できます。
P（A∩B∩C）= P（AおよびBおよびC）= P（A）P（B | A）P（C |A∩B）
また、A 1、A 2、A 3などのさまざまなイベントでは、次のように表すことができます。
P（A 1 ∩A 2 ∩A 3 …∩A N）= P（A 1）。P（A 2 | A 1）。P（A 3 | A 1 ∩A 2）···P（A N ││A 1 ∩A 2 ∩… A N-1）
イベントが順番に発生し、さまざまな段階を経て発生する場合は、データを図または表に編成すると便利です。これにより、要求された確率に到達するためのオプションを視覚化しやすくなります。
例は、ツリー図と分割表です。それらの1つから、もう1つを構築できます。
条件付き確率の例
あるイベントの確率が別のイベントの発生によって変更されるいくつかの状況を見てみましょう。
-例1
菓子屋では、ストロベリーとチョコレートの2種類のケーキが販売されています。両性のクライアント50人の好みを登録することにより、以下の値が決定されました：
-27人の女性。うち11人はイチゴのケーキと16人のチョコレートを好む。
男性-23人：15人はチョコレートを選び、8人はイチゴを選びます。
顧客がチョコレートケーキを選ぶ確率は、ラプラスの法則を適用することによって決定できます。これにより、イベントの確率は次のようになります。
P =有利なイベントの数/イベントの総数
この場合、50人の顧客のうち、合計31人がチョコレートを好むため、確率はP = 31/50 = 0.62になります。つまり、62％の顧客がチョコレートケーキを好みます。
しかし、クライアントが女性の場合は異なるのでしょうか？これは条件付き確率の場合です。
分割表
このような分割表を使用すると、合計を簡単に表示できます。
次に、好ましいケースが観察され、ラプラスのルールが適用されますが、最初にイベントを定義します。
-Bは「女性客」イベントです。
-Aは女性としての「チョコレートケーキを好む」イベントです。
「女性」というラベルの付いた列に移動すると、合計が27であることがわかります。
次に、「チョコレート」の列で有利なケースが求められます。これらのイベントは16個あるため、求められる確率は直接次のとおりです。
P（A│B）= 16/27 = 0.5924
59.24％の女性客はチョコレートケーキを好みます。
この値は、最初に与えられた条件付き確率の定義と対比すると一致します。
P（A│B）= P（A∩B）/ P（B）
ラプラスのルールとテーブル値を使用することを確認します。
P（B）= 27/50
P（AおよびB）= 16/50
ここで、P（AおよびB）は、顧客がチョコレートを好み、女性である確率です。今度は値が置き換えられます：
P（A│B）= P（AおよびB）/ P（B）=（16/50）/（27/50）= 16/27 = 0.5924。
そして、結果は同じであることが証明されています。
-例2
この例では、乗算のルールが適用されます。店内に陳列されている3つのサイズのパンツ（小、中、大）があるとします。
合計24パンツのロットで、各サイズのパンツが8枚あり、すべてが混在している場合、2枚を抽出し、両方が小さい可能性は何ですか？
最初の試行で小さなズボンを脱ぐ確率は8/24 = 1/3であることは明らかです。ここで、2番目の抽出は最初のイベントを条件としています。パンツのペアを削除すると、24ではなく23になります。小さなパンツを削除すると、8ではなく7になります。
イベントAは、1つの小さなパンツを引っ張って、最初の試行で別のパンツを引っ張っています。そして、イベントBは初めてのパンツ付きのイベントです。したがって：
P（B）= 1/3; P（A│B）= 7/24
最後に、乗算ルールを使用します。
P（A∩B）=（7/24）（1/3）= 7/72 = 0.097
運動が解決されました
民間航空便の時間厳守の研究では、以下のデータが利用可能です：
-P（B）= 0.83は、飛行機が時間どおりに離陸する確率です。
-P（A）= 0.81は、時間通りに着陸する確率です。
-P（B∩A）= 0.78は、フライトが定刻に定刻に到着する確率です。
計算するよう求められます：
a）飛行機が時間どおりに離陸した場合、飛行機が時間通りに着陸する確率はどれくらいですか？
b）上記の確率は、時間どおりに着陸できた場合に時間通りに残った確率と同じですか？
c）そして最後に：時間通りに出発しなかった場合、時間通りに到着する確率はどれくらいですか？
図2.遅延により数百万ドルの損失が発生するため、商用便の時間厳守は重要です。出典：Pixabay。
への解決策
質問に答えるために、条件付き確率の定義が使用されます：
P（A│B）= P（A∩B）/ P（B）= P（AおよびB）/ P（B）= 0.78 /0.83 = 0.9398
ソリューションb
この場合、定義内のイベントが交換されます。
P（B│A）= P（A∩B）/ P（A）= P（AおよびB）/ P（A）= 0.78 /0.81 = 0.9630
以前に指摘したように、この確率は以前の確率とは少し異なることに注意してください。
ソリューションc
時間どおりに出発しない確率は1-P（B）= 1-0.83 = 0.17 です。これは時間どおりに離陸する補足的なイベントであるため、P（B C）と呼びます。求められる条件付き確率は次のとおりです。
P（A│B C）= P（A∩B C）/ P（B C）= P（A及びB C）/ P（B C）
一方：
P（A∩B C）= P（オン時間ランディング） - P（時間に着地と時間離陸）= 0.81から0.78 = 0.03
この場合、求められる条件付き確率は次のとおりです。
P（A│B C）= 0.03 / 0.17 = 0.1765
参考文献
- Canavos、G。1988。確率と統計：アプリケーションと方法。マグローヒル。
- Devore、J。2012。工学と科学の確率と統計。8日。版。Cengage。
- Lipschutz、S。1991。Schaumシリーズ：確率。マグローヒル。
- Obregón、I.1989。確率論。エディトリアルLimusa。
- ウォルポール、R。2007。工学および科学の確率と統計。ピアソン。
- ウィキペディア。条件付き確率。回復元：es.wikipedia.org。