積分定数が不定積分または積分の計算に加えた値である、それは関数のプリミティブを構成するソリューションを表現するのに役立ちます。これは、任意の関数に無限の数のプリミティブがある固有のあいまいさを表します。
たとえば、関数f（x）= 2x + 1を取り、その逆導関数を取得すると、次のようになります。
∫（2x + 1）dx = x 2 + x + C ; ここで、Cは積分の定数であり、プリミティブの無限の可能性間の垂直方向の平行移動をグラフィカルに表します。（x 2 + x）はf（x）のプリミティブの1つであると言って間違いありません。
出典：著者
同様に、（x 2 + x + C）をf（x）のプリミティブとして定義できます。
プロパティを反転
式（x 2 + x）を導出すると、関数f（x）= 2x + 1が得られますが、これは、関数の導出と積分の間に存在する逆の性質によるものです。このプロパティにより、微分から始まる積分式を取得できます。これにより、同じ導関数による積分の検証が可能になります。
出典：著者
ただし、（x 2 + x）は、導関数が（2x + 1）に等しい唯一の関数ではありません。
- d（x 2 + x）/ dx = 2x + 1
- d（x 2 + x + 1）/ dx = 2x + 1
- d（x 2 + x + 2）/ dx = 2x + 1
- d（x 2 + x + 3）/ dx = 2x + 1
- d（x 2 + x + C）/ dx = 2x + 1
ここで、1、2、3、および4は、f（x）= 2x + 1の特定のプリミティブを表しますが、5は、f（x）= 2x + 1の不定またはプリミティブ積分を表します。
出典：著者
関数のプリミティブは、逆導出または積分プロセスによって実現されます。ここで、Fは、次の条件が満たされる場合、fのプリミティブになります。
- y =∫f（x）dx = F（x）+ C; C = 積分定数
- F '（x）= f（x）
積分から生じる無限のプリミティブとは異なり、関数には単一の導関数があることがわかります。
不定積分
∫f（x）dx = F（x）+ C
これは、各パターン（x、y）の画像の値に不一致が生じる同じパターンの曲線のファミリーに対応します。このパターンを満たす各関数は個別のプリミティブであり、すべての関数のセットは不定積分として知られています。
積分定数の値は、実際には各関数を区別する値になります。
積分定数は、関数のプリミティブを表現するすべてのグラフの縦シフトを示唆しています。それらの間の平行性が観察される場所、およびCが変位の値であるという事実。
一般的な慣例によれば、積分の定数は加数の後に文字「C」で示されますが、実際には定数が加算されるか減算されるかは問題ではありません。その真の価値は、異なる初期条件の下でさまざまな方法で見つけることができます。
積分定数の他の意味
積分定数がどのように積分の分岐に適用されるかについては、すでに説明しました。不定積分を定義する曲線のファミリーを表します。しかし、他の多くの科学とブランチは、統合の定数の非常に興味深く実用的な値を割り当てており、それによって複数の研究の開発が促進されました。
で物理学の統合の定数は、データの性質に応じて複数の値を取ることができます。非常に一般的な例は、時間tに対する粒子の速度を表す関数V（t）を知ることです。V（t）のプリミティブを計算すると、時間に対する粒子の位置を表す関数R（t）が得られることが知られています。
積分定数は、あろう時間t = 0において、初期位置の値を表します。
同様に、時間に対する粒子の加速度を表す関数A（t）がわかっている場合。A（t）のプリミティブは関数V（t）になり、積分定数は初期速度V 0の値になります。
では、経済、統合によるコスト関数のプリミティブを取得することもできます。統合の定数は、固定費を表します。そして、微分および積分の計算に値する他の多くのアプリケーション。
積分定数はどのように計算されますか？
積分定数を計算するには、常に初期条件を知る必要があります。可能なプリミティブのどれが対応するものであるかを定義するのはどれですか。
多くのアプリケーションでは、時間（t）では独立変数として扱われます。定数Cは、特定のケースの初期条件を定義する値を取ります。
最初の例をとると、∫（2x + 1）dx = x 2 + x + C
有効な初期条件は、グラフが特定の座標を通過することです。たとえば、プリミティブ（x 2 + x + C）は点（1、2 ）を通過することがわかります
F（x）= x 2 + x + C; これは一般的な解決策です
F（1）= 2
この平等を一般解で置き換えます
F（1）=（1）2 +（1）+ C = 2
C = 0であることが簡単にわかるところから
このように、このケースに対応するプリミティブはF（x）= x 2 + xです。
積分定数で機能する数値演習にはいくつかのタイプがあります。実際、微分積分は現在の調査での適用が止まることはありません。異なる学問レベルでそれらを見つけることができます。最初の計算から、とりわけ、物理学、化学、生物学、経済学を通じて。
これは、積分定数が異なる値と解をとることができる微分方程式の研究でも高く評価されます。これは、この問題で複数の微分と積分が行われるためです。
例
例1
- 高さ30メートルの大砲が垂直方向上方に発射物を発射します。発射体の初速度は25 m / sであることが知られています。決めます：
- 時間に対する発射体の位置を定義する関数。
- 粒子が地面に衝突したときの飛行時間または瞬間。
直線運動において均一に変化する加速度は一定値であることが知られています。これは、加速が重力になる発射体の発射の場合です
g =-10 m / s 2
加速度は位置の2次導関数であることも知られています。これは、エクササイズの解像度の二重積分を示し、2つの積分定数を取得します。
A（t）= -10
V（t）=∫A（t）dt =∫（-10t）dt = -10t + C 1
運動の初期条件は、初速度がV 0 = 25 m / sであることを示しています。これは、t = 0の瞬間の速度です。このようにして、次のことが満たされます。
V（0）= 25 = -10（0）+ C 1 およびC 1 = 25
速度関数が定義されている
V（t）= -10t + 25; 類似性はMRUV式（V f = V 0 + axt）で観察できます。
同様に、速度関数を積分して、位置を定義する式を取得します。
R（t）=∫V（t）dt =∫（-10t + 25）dt = -5t 2 + 25t + C 2
R（t）= -5t 2 + 25t + C 2（位置プリミティブ）
初期位置R（0）= 30 mは既知です。次に、発射体の特定のプリミティブが計算されます。
R（0）= 30m = -5（0）2 + 25（0）+ C 2。ここで、C 2 = 30
例2
- 初期条件を満たすプリミティブf（x）を見つけます。
- f ''（x）= 4; f '（2）= 2; f（0）= 7
2次導関数f ''（x）= 4の情報により、逆導関数プロセスが始まります
f '（x）=∫f' '（x）dx
∫4dx = 4x + C 1
次に、条件f '（2）= 2がわかっているので、次に進みます。
4（2）+ C 1 = 2
C 1 = -6およびf '（x）= 4x-8
積分の 2番目の定数についても同じように進みます
F（X）=∫F「（x）はDX
∫（4X - 8）DX = 2X 2 - 8X + C 2
初期条件f（0）= 7は既知であり、次に進みます。
2（0）2 -図8（0）+ C 2 = 7
C 2 = 7、F（X）= 2× 2 - 8X + 7
- f ''（x）= x 2 ; f '（0）= 6; f（0）= 3
前の問題と同様に、初期条件から1次導関数と元の関数を定義します。
f '（x）=∫f' '（x）dx
∫（X 2）DX =（X 3 /3）+ C 1
条件f '（0）= 6を使用して続行します。
（0 3/3）+ C 1 = 6; ここで、C 1 = 6及びf「（x）=（x 3 /3）+ 6
次に、積分の2番目の定数
f（x）=∫f '（x）dx
∫DX =（X 4 /12）+ 6×+ C 2
初期条件f（0）= 3は既知であり、次に進みます。
+ 6（0）+ C 2 = 3; ここで、C 2 = 3
したがって、原始的な特定の
F（X）= （X 4 /12）+ 6×+ 3
例3
- 微分とグラフ上の点を指定して、基本関数を定義します。
- dy / dx = 2x-2（3、2）を通過
導関数は特定の点での曲線に接する線の傾きを指すことに注意してください。これは原始関数のグラフに属しているため、微分のグラフが指定された点に接触すると仮定することが正しくない場合。
このようにして、微分方程式を次のように表現します。
∫dy=∫（2x-2）dx
初期条件の適用：
2 =（3）2 - 2（3）+ C
C = -1
それが得られる：F（X）= X 2 - 2X - 1
- dy / dx = 3x 2-1（0、2）の点を通過
微分方程式は次のように表されます。
初期条件の適用：
2 =（O）2 - 2（0）+ C
C = 2
以下を取得します：f（x）= x 3 -x + 2
提案された演習
演習1
- 初期条件を満たすプリミティブf（x）を見つけます。
- f ''（x）= x; f '（3）= 1; f（2）= 5
- f ''（x）= x + 1; f '（2）= 2; f（0）= 1
- f ''（x）= 1; f '（2）= 3; f（1）= 10
- f ''（x）= -x; f '（5）= 1; f（1）= -8
演習2
- 16 ft / sの速度で上昇する気球は、地面から64 ftの高さから砂の袋を落下させます。
- 飛行時間を定義する
- 地面にぶつかったときのベクトルV fはどうなりますか？
演習3
- この図は、x軸の正の方向に移動する自動車の加速時間グラフを示しています。車は時速54 kmの一定速度で走行しており、ドライバーがブレーキをかけて10秒で停止しました。決定：
- 車の初期加速
- tでの車の速度= 5秒
- ブレーキ時の車の変位
出典：著者
演習4
- 微分とグラフ上の点を指定して、基本関数を定義します。
- 点（-1、4）を通過するdy / dx = x
- dy / dx = -x 2 + 1は点（0、0）を通過します
- dy / dx = -x + 1（-2、2）を通過
参考文献
- 積分。不定積分および積分法。ウィルソン、ベラスケスバスティダス。マグダレナ大学2014
- スチュワート、J。（2001）。変数の計算。初期の超越。メキシコ：Thomson Learning。
- ヒメネス、R。（2011）。数学VI。積分。メキシコ：ピアソン教育。
- Physics I. Mc Graw hill